Ces constructions sont fonctorielles pour les morphismes affines. Soit $P$ et $P^{\prime}$ des polytopes de $V$ et $V^{\prime}$ respectivement et soit $f\colon P\to P^{\prime}$ une application égale à la restriction d’une application affine $g\colon V\to V^{\prime}$. Notons $j$ et $j^{\prime}$ les immersions de $P$ dans $V$ et de $P^{\prime}$ dans $V^{\prime}$. Soit $(p,q)\in\mathbf{N}\times\mathbf{N}$. L’application affine $g$ induit un morphisme de faisceaux de $j^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{V^{\prime}}$ dans $(j^{\prime})^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{V}$ qui applique $\mathscr{N}_{P^{\prime}}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}_{P}^{p,q}$. Il en résulte un homomorphisme, noté $f^{*}$, de $f^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{P^{\prime}}$ dans $\mathscr{F}^{p,q}_{P}$.

Ces homomomorphismes respectent les structures de modules gradués, et d’algèbres graduées si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication. Ils commutent à l’involution $J$, et aux opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$.

Si $P$ et $Q$ sont deux polytopes de $V$ tels que $Q\subset P$ et si $j$ désigne l’inclusion de $Q$ dans $P$, on écrira par abus $\alpha|_{Q}$ au lieu de $j^{*}\alpha$.