Soit $\mathsf{F}$ un fibré vectoriel sur $\widetilde{(X,x)}$  ; choisissons un cocycle $(\gamma_{\alpha,\beta})$ qui définit $\mathsf{F}$. En vertu de 6.5.5, A), ce cocycle se relève en un cocycle $(g_{\alpha,\beta})$ sur $(X,x)_{\text{G}}$, à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}$ tel que $g_{\alpha,\beta}$ appartienne à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ pour tout $(\alpha,\beta)$. Soit $\bar{E}$ le fibré métrisé PL défini par le cocycle $(g_{\alpha,\beta})$ sur $(X,x)$. Le fibré $E$ possède une base au voisinage de $x$ : il suffit pour le voir de fixer $\alpha_{0}$ et de considérer la cochaîne valant $(g_{\alpha_{0},\beta})$ sur $(X_{\beta},x)$. Par construction, ${\mathsf{E}}(x)=\mathsf{F}$.