Pour toute $(d,d)$-forme lisse $\alpha$ sur $X$ dont le support est compact et disjoint de $\operatorname{Int}(X)$, posons alors $\langle\varphi_{*}\delta_{Y},\alpha\rangle=\int_{Y}\varphi^{*}\alpha$, où l’intégrale d’une $(d,d)$-forme à support compact sur $Y$ a été définie en (3.7). On définit ainsi un courant de bidimension $(d,d)$ sur $X$, qu’on appelle courant d’intégration sur $Y$.

Pour démontrer la continuité de $f_{*}\delta_{Y}$, on se ramène au cas où $Y=X$ puis, compte tenu de la définition de $\int_{Y}$, à la continuité de l’intégrale d’un polytope calibré dans un espace affine.