On dit qu’une forme $\alpha$ sur $X$ est à support propre si son support est compact et disjoint du bord $\partial(X)$ de $X$.

On note $\mathscr{A}_{\text{c}}^{p,q}(X)$ le sous-espace de $\mathscr{A}^{p,q}(X)$ constitué des formes lisses à support propre.

Cette terminologie a été choisie par analogie avec celle des morphismes propres en géométrie analytique de Berkovich : en effet un morphisme $f$ entre deux espaces analytiques est propre si et seulement si l’application sous-jacente entre espaces topologiques est propre et s’il est sans bord ([8], (1.5.3), (iii)).