Soit $T$ et $T^{\prime}$ deux tores. Les $\mathbf{R}$-espace vectoriels $T_{\text{trop}}$ et $T^{\prime}_{\text{trop}}$ sont égaux respectivement à $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T),\mathbf{R}^{\times}_{+})$ et $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T^{\prime}),\mathbf{R}^{\times}_{+})$.

On dispose par conséquent d’un isomorphisme naturel

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},T^{\prime}_{\text{trop}})\simeq\operatorname{Hom}(\mathsf{X}^{\prime}(T),\mathsf{X}(T))\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}.$$

Notons que dans le cas particulier où $T^{\prime}=\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$, on a $T^{\prime}_{\text{trop}}=\mathbf{R}^{\times}_{+}$ d’où un isomorphisme naturel

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{\times}_{+})\simeq\mathsf{X}(T)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}.$$

Désormais, et sauf mention expresse du contraire :

• —

  une cellule de $T_{\text{trop}}$ sera toujours une cellule « à pentes rationnelles », c’est-à-dire définie comme une intersection de demi-espaces fermés décrits par des inégalités de la forme $\varphi\leq a$, où $\varphi\in\mathsf{X}(T)\subset\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{\times}_{+})$ et où $a\in\mathbf{R}^{\times}_{+}$  ;

• —

  un polytope de $T_{\text{trop}}$ sera toujours une union finie de cellules à pentes rationnelles, et une décomposition cellulaire d’un polytope de $T_{\text{trop}}$ sera toujours constituée de cellules à pentes rationnelles  ;

• —

  une application $T_{\text{trop}}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ sera dite affine si elle est composée d’une translation et d’une application appartenant à $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T^{\prime}),\mathsf{X}(T))\otimes\mathbf{Q}$.

• —

  une application continue $f$ d’un polytope $P$ de $T_{\text{trop}}$ vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$ sera dite linéaire par morceaux s’il existe une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $P$ telle que la restriction de $f$ à chaque cellule de $\mathscr{C}$ s’étende en une application affine de $T_{\text{trop}}$ vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$.

Nous parlerons également à l’occasion de cellule et de polytope de $S(T)$, d’application affine de $S(T)$ vers $S(T^{\prime})$, et d’application linéaire par morceaux d’un polytope de $S(T)$ vers $S(T^{\prime})$ ou vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$ : ces notions sont simplement déduites des notions correspondantes sur $T_{\text{trop}}$ et $T^{\prime}_{\text{trop}}$ via les homéomorphisme naturels $S(T)\simeq T_{\text{trop}}$ et $S(T^{\prime})\simeq S(T^{\prime})_{\text{trop}}$.