Soit $f\colon T\to T^{\prime}$ un morphisme affines et à fibres finies entre tores de même dimension $n$  ; en d’autres termes, $f$ est composée d’une isogénie et d’une translation. Le morphisme $f$ est fini, plat et surjectif, et l’application affine $f_{\text{trop}}$ est bijective.

Soit $x\in T$, soit $d$ la dimension tropicale de $\operatorname{id}_{T}$ en $x$, et soit $\delta$ la dimension tropicale de $\operatorname{id}_{T^{\prime}}$ en $f(x)$.

Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ dans $T$ tel que l’image $V_{\text{trop}}$ de $V$ dans $T_{\text{trop}}$ soit de dimension $d$. Le polytope $f_{\text{trop}}(V_{\text{trop}})$ est de dimension $d$, et coïncide avec $f(V)_{\text{trop}}$.

Comme $f$ est fini et plat, il est ouvert, et $f(V)$ est donc un voisinage de $f(x)$. La dimension de $f(V)_{\text{trop}}$ est par conséquent supérieure ou égale à $\delta$  ; ainsi, $d\geq\delta$.

Soit $W$ un voisinage affinoïde de $f(x)$ dans $T^{\prime}$ tel que $W_{\text{trop}}$ soit de dimension $\delta$. Comme $f$ est surjective, $f^{-1}(W)$ se surjecte sur $W$ et l’on a donc l’égalité$f_{\text{trop}}(f^{-1}(W)_{\text{trop}})=W_{\text{trop}}$  ; il s’ensuit que $f^{-1}(W)_{\text{trop}}$ est de dimension $\delta$. Comme c’est un voisinage de $x$, sa dimension est supérieure ou égale à $d$  ; on a ainsi $\delta\geq d$, d’où finalement l’égalité $d=\delta$.

Il en résulte que $d=n$ si et seulement si $\delta=n$, c’est-à-dire que $x\in S(T)$ si et seulement si $f(x)\in S(T^{\prime})$. Autrement dit, $S(T)=f^{-1}(S(T^{\prime}))$.

On dispose dès lors d’un diagramme commutatif

$$\vbox{\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 14.19275pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-13.85938pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{S(T)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 13.85939pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 21.3854pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{f}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 38.19275pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-24.68451pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 38.19275pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{S(T^{\prime})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 53.45491pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 53.45491pt\raise-24.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-14.19275pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{T_{\text{trop}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.19275pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.8506pt\raise-25.60117pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.44444pt\hbox{$\scriptstyle{f_{\text{trop}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 39.26216pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 39.26216pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{T^{\prime}_{\text{trop}}}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces}}}}}.$$

Les flèches verticales et la flèche horizontale du bas étant une bijection affine, $f$ induit une bijection affine $S(T)\simeq S(T^{\prime})$.