Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$  ; il est fermé dans $X$, car $X$ est topologiquement séparé. Par suite, $K=V\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}(\mathring{V}\cap U)$ est une partie fermée de $X$ contenue dans $V$. Soit $f$ une fonction lisse sur $V$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et qui est nulle au voisinage de $K$. Soit $g$ la fonction sur $X$ qui coïncide avec $f$ sur $V$ et qui est nulle en dehors de $V$. Elle est lisse sur l’intérieur de $V$, sur l’ouvert $X\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}V$, ainsi que sur un voisinage de $K$ dans $X$  ; ces trois ouverts recouvrent $X$. La fonction $g$ est donc lisse  ; son support est contenu dans $U$, comme il est contenu dans l’affinoïde $V$, il est aussi compact. ∎