Une cellule de $V$ est une partie non vide de $V$ qui est une intersection finie de demi-espaces affines fermés. Soit $C$ une cellule de $V$ ; la dimension de $C$ est par définition la dimension du sous-espace affine $\langle C\rangle$ engendré par $C$  ; une $p$-cellule est une cellule de dimension $p$.

L’intérieur de $C$ est son intérieur topologique dans $\langle C\rangle$ et sera noté $\mathring{C}$ ; son complémentaire dans $C$ est appelé son bord et est noté $\partial C$. Le bord $\partial C$ est non vide si et seulement si $C$ est de dimension strictement positive.

Une partie $D$ de $V$ est un cellule ouverte si elle est égale à l’intérieur d’une cellule $C$, qui est alors uniquement déterminée : on a nécessairement $C=\overline{D}$. La dimension d’une cellule ouverte est par définition la dimension de la cellule fermée correspondante  ; une $p$-cellule ouverte est une cellule ouverte de dimension $p$.

Remarquons qu’une partie $C$ de $V$ est une $0$-cellule si et seulement si c’est un point, et c’est alors également une $0$-cellule ouverte, son bord étant vide.

Soit $C$ une cellule de $V$ et soit $H$ un sous-espace affine de $V$ qui rencontre $C$, et qui ou bien contient $C$, ou bien ne rencontre pas l’intérieur de $C$. L’intersection $C\cap H$ est alors une cellule, ou bien égale à $C$ ou bien contenue dans $\partial C$. On dira d’une telle cellule qu’elle est une face de $C$. L’intersection de deux faces de $C$ est ou bien vide, ou bien une face de $C$  ; le bord de $C$ est réunion de faces. Une $p$-face de $C$ est une face de $C$ de dimension $p$.

On dit qu’une partie $P$ de $V$ est un polytope si c’est une réunion finie de cellules de $V$.

Soit $P$ un polytope. Une décomposition cellulaire de $P$ est la donnée d’un ensemble fini $\mathscr{C}$ de cellules vérifiant les propriétés suivantes :

• —

  Le polytope $P$ est la réunion des cellules appartenant à $\mathscr{C}$ ;

• —

  Pour tout couple $(C,D)$ d’éléments de $\mathscr{C}$, $C\cap D$ est une face de $C$ et de $D$ ;

• —

  Pour tout $C\in\mathscr{C}$, toute face de $C$ appartient à $\mathscr{C}$.

Tout polytope admet une décomposition cellulaire.

Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire d’un polytope $P$ de $V$. Les cellules ouvertes de $\mathscr{C}$ sont par définition les intérieurs des cellules de $\mathscr{C}$  ; elles sont deux à deux disjointes.

On dit qu’une décomposition cellulaire $\mathscr{C}^{\prime}$ de $P$ raffine la décomposition $\mathscr{C}$ si toute cellule de $\mathscr{C}^{\prime}$ est contenue dans une cellule de $\mathscr{C}$.

Soit $P$ un polytope de $V$ et soit $x\in P$.

La dimension de $P$ en $x$, notée $\dim_{x}(P)$, est la dimension maximale d’une cellule contenant $x$ et contenue dans $P$. La dimension de $P$, notée $\dim(P)$, est la borne supérieure de la famille $(\dim_{x}(P))_{x\in P}$ ; cette définition coïncide avec la précédente lorsque $P$ est une cellule. On dit que $P$ est purement de dimension $d$ si $\dim_{x}(P)=d$ pour tout $x\in P$  ; si $P$ est une $d$-cellule, il est purement de dimension $d$.

On dit que le point $x$ est un point intérieur de $P$ s’il existe un voisinage $C$ de $x$ dans $P$ qui est une cellule dont $x$ est un point intérieur  ; cette définition coïncide avec la précédente lorsque $P$ est lui-même une cellule. L’intérieur de $P$ est l’ensemble de ses points intérieurs. C’est un ouvert dense  ; son fermé complémentaire est appelé le bord de $P$ et est noté $\partial P$.

Supposons que $x$ soit un point intérieur de $P$ et soit $C$ un voisinage de $x$ dans $P$ qui est une cellule dont $x$ est un point intérieur. Le sous-espace affine $\langle C\rangle$ de $V$ ne dépend alors pas du choix de $C$  ; on l’appelle l’espace tangent à $P$ en $x$ et on le note $T_{x}P$. Le point $x$ possède un voisinage dans $P$ qui est un ouvert de $T_{x}P$.