Dans ce travail, le groupe multiplicatif et ses puissances jouent un rôle fondamental. Rappelons que l’anneau des fonctions algébriques sur l’espace $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est l’anneau $A=k[T_{1}^{\pm 1},\dots,T_{n}^{\pm 1}]$ des polynômes de Laurent à coefficients dans $k$ en des indéterminées $T_{1},\dots,T_{n}$. Le groupe analytique $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, au sens de Berkovich, est l’ensemble des semi-normes multiplicatives sur cet anneau qui étendent la valeur absolue de $k$. Pour éviter le recours à un choix explicite de coordonnées, nous adopterons la convention suivante : nous appellerons tore (de dimension $n$) tout groupe analytique isomorphe à une puissance $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ du groupe multiplicatif  ; nos tores sont donc implicitement supposés déployés.

Rappelons que toute fonction analytique inversible sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est algébrique et, plus précisément, est même un monôme, c’est-à-dire de la forme $aT_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$, où $a\in k^{*}$ et $(m_{1},\dots,m_{n})\in\mathbf{Z}^{n}$ est un vecteur appelé exposant. (En dimension 1, cet énoncé est le lemme 9.7.1/1 de [14], le cas général en découle par récurrence.)

Le morphisme $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$ induit par une telle fonction est un homomorphisme de groupes analytiques si et seulement si $a=1$.

Soit $T$ un tore. L’ensemble $\mathsf{X}(T)$ des caractères de $T$, c’est-à-dire des morphismes de groupes analytiques de $T$ vers $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$, est un groupe abélien.

On déduit de ce qui précède que tout isomorphisme de $T$ avec $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ induit un isomorphisme de $\mathsf{X}(T)$ avec $\mathbf{Z}^{n}$  ; on en déduit aussi que si $T$ et $T^{\prime}$ sont deux tores, tout morphisme d’espace $k$-analytique de $T$ vers $T^{\prime}$ est affine, i.e. composé d’un morphisme de groupes analytiques et d’une translation  ; c’est donc un morphisme de groupes si et seulement si il envoie l’origine de $T$ sur l’origine de $T^{\prime}$. Pour cette raison, lorsque nous évoquerons un morphisme entre tores qui n’est pas nécessairement un morphisme de groupes, nous le qualifierons de morphisme affine.

On considère le groupe abélien $\mathbf{R}_{+}^{\times}$ comme un $\mathbf{R}$-espace vectoriel, via l’exponentiation coordonnée par coordonnée  ; le choix d’une base de logarithmes permet d’ailleurs de l’identifier à l’espace $\mathbf{R}$.

Soit $T$ un tore. Nous noterons $T_{\text{trop}}$ le $\mathbf{R}$-espace vectoriel $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T),\mathbf{R}^{\times}_{+})$, que l’on peut identifier à $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$ une fois choisie une trivialisation de $T$, ou à $\mathbf{R}^{n}$ si l’on fixe en plus une base de logarithmes. L’espace vectoriel $T_{\text{trop}}$ est appelé tropicalisation du tore $T$.

Étant donné un point $t$ de $T$, l’application qui applique un caractère $\varphi\in\mathsf{X}(T)$ sur l’élément $\mathopen{|}{\varphi(t)}\mathclose{|}$ est un élément de $T_{\text{trop}}$ noté ${\text{trop}}(t)$. L’application ${\text{trop}}\colon T\rightarrow T_{\text{trop}}$ ainsi définie est continue.

La formation de $T_{\text{trop}}$ est fonctorielle : tout morphisme affine $f\colon T\to T^{\prime}$ entre tores induit une application affine $f_{\text{trop}}\colon T_{\text{trop}}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ telle que le diagramme

commute.

L’application de tropicalisation $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}$ possède une section continue naturelle $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, définie comme suit : elle envoie un point $r=(r_{1},\dots,r_{n})\in(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}=(\mathbf{R}+^{\times})^{n}$ sur le point $\eta_{r}$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ défini par la semi-norme qui applique le polynôme de Laurent

$$f=\sum_{m\in\mathbf{Z}^{n}}a_{m}T_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$$

sur

$$\max_{m\in\mathbf{Z}^{n}}\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|}r_{1}^{m_{1}}\dots r_{n}^{m_{n}}.$$

Son image est appelée squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ et est notée $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$.

Canonicité du squelette. On peut caractériser $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$ comme l’ensemble des points de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ maximaux pour la relation $\leq$ définie comme suit : $x\leq y$ si et seulement si $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$ pour toute fonction analytique $f$ sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$.

En effet, soit $x\in\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. Pour tout $i$, on pose $r_{i}=T_{i}(x)$, et l’on note $r$ le $n$-uplet $(r_{1},\ldots,r_{n})$. Soit $f=\sum_{m\in\mathbf{Z}^{n}}a_{m}T_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$ une fonction analytique sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. On a

$$|f(x)|\leq\max_{m\in\mathbf{Z}^{n}}\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|}r_{1}^{m_{1}}\dots r_{n}^{m_{n}}=\mathopen{|}{f(\eta_{r})}\mathclose{|}.$$

En conséquence, $x\leq\eta_{r}$  ; en particulier, si $x$ est maximal alors $x=\eta_{r}$.

Ainsi, tout point maximal appartient à $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$. Réciproquement, soit $r\in(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$ et soit $x\geq\eta_{r}$. Pour tout $i$, on pose $s_{i}=|T_{i}(x)|$, et l’on note $s$ le $n$-uplet $(s_{1},\ldots,s_{n})$. Par ce qui précède, $x\leq\eta_{s}$  ; a fortiori, $\eta_{r}\leq\eta_{s}$. En appliquant cette inégalité à $T_{i}$ et $T_{i}^{-1}$ pour tout $i$, il vient $r=s$. Ainsi $\eta_{r}\leq x\leq\eta_{r}$ et $x=\eta_{r}$. Par conséquent, $\eta_{r}$ est maximal.

On en déduit que si $\sigma$ est un automorphisme d’espace analytique de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ alors $\sigma(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))=S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$. Notons qu’il n’y a pas besoin de supposer que $\sigma$ agit non trivialement sur le corps $k$, il peut par exemple provenir d’une action galoisienne.

Soit $T$ un tore et soit $f\colon\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to T$ un isomorphisme. En vertu de ce qui précède, le fermé $f(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))$ de $T$ ne dépend pas de $f$.

On l’appelle le squelette de $T$ et on le note $S(T)$. L’application naturelle $T\to T_{\text{trop}}$ induct un homéomorphisme $S(T)\simeq T_{\text{trop}}$. Si $P$ est un sous-ensemble de $T_{\text{trop}}$, on notera $P_{\mathrm{sq}}$ le sous-ensemble de $S(T)$ qui lui correspond via cet homéomorphisme.

Soit $f\colon X\to T$ un moment sur un espace $k$-analytique $X$. On désignera par $f_{\text{trop}}\colon X\rightarrow T_{\text{trop}}$ l’application composée $X\to T\to T_{\text{trop}}$. On dira que l’application $f_{\text{trop}}$ est la tropicalisation de $f$  ; c’est une application continue.