Soit $\omega$ une forme mesurable de bidegré $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$) telle qu’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})$ sur $X$, adapté à $\omega$.

Soit $Y$ un domaine analytique fermé de $X$, et soit $Z$ un domaine analytique fermé de $Y$. Supposons que $Z$ contienne (resp. soit un voisinage) de $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$.

On a alors $\int_{Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$), et $\int_{Z}\omega=\int_{Y}\omega$ (resp. $\int_{\partial Z}\omega=\int_{\partial Y}\omega$) dans le cas intégrable.

En effet, les différentes intégrales en jeu peuvent se calculer au moyen des atlas $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})|_{Y}$ et $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})|_{Z}$, et l’assertion découle dès lors aussitôt de la proposition 3.7.2 (resp. 3.7.3).

Par un raisonnement analogue également fondé sur la proposition 3.7.2 (resp. 3.7.3), on montre que si $Y_{1}$ et $Y_{2}$ sont deux domaines analytiques fermés de $X$, alors :

$\bullet$ $\int_{Y_{1}\cup Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}+\int_{Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}-\int_{Y_{1}\cap Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$

(resp. chacun des quatre termes $\int_{\partial(Y_{1}\cup Y_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, $\int_{\partial Y_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, $\int_{\partial Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, $\int_{\partial(Y_{1}\cap Y_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ est majoré par la somme des trois autres)  ;

$\bullet$ $\int_{Y_{1}\cup Y_{2}}\omega=\int_{Y_{1}}\ \omega+\int_{Y_{2}}\omega-\int_{Y_{1}\cap Y_{2}}\omega$

(resp. $\int_{\partial(Y_{1}\cup Y_{2})}\omega=\int_{\partial Y_{1}}\omega+\int_{\partial Y_{2}}\omega-\int_{\partial(Y_{1}\cap Y_{2})}\omega$) dans le cas intégrable.