En revenant à la définition de l’intégrale, on se ramène au cas où $V$ est contenu dans l’intérieur d’un domaine affinoïde $V^{\prime}$ adapté à $\omega$. Soit $f\colon V^{\prime}\rightarrow T$ un moment et soit $\alpha$ une $(n,n)$-forme sur $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ telle que $\omega|_{V^{\prime}}=f^{*}\alpha$.

Considérons une décomposition polytopale $\mathscr{P}^{\prime}$ de $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ telle que $f_{\text{trop}}(V)$ soit réunion de cellules de $\mathscr{P}^{\prime}$ et qui soit adaptée au calibrages $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(V)$ et $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$. Il existe un voisinage $P$ de $f_{\text{trop}}(V)$ dans $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ qui est un polyope. Alors, $W=f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est un domaine analytique de $V^{\prime}$ qui est un voisinage de $V$. Compte tenu de la régularité extérieure de la mesure de Lebesgue sur un espace affine, la définition de $\int_{V^{\prime}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ montre que cette intégrale est arbitrairement proche de $0$. ∎

Commençons par traiter le cas d’une forme de type $(n,n)$. Soit $u$ une fonction lisse sur $X$. Il résulte de la définition de l’intégrale $\int_{X}u\omega$ que l’on a

$$\left|{\int_{X}u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{X}\int_{X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}.$$

Soit $\varepsilon>0$. Il existe un voisinage compact $U$ de $K$ sur lequel $u$ est bornée par $\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}+\varepsilon$ ; soit alors $\lambda$ une fonction lisse sur $X$, de support contenu dans $U$, qui vaut $1$ au voisinage de $K$ et telle que $0\leq\lambda(x)\leq 1$ pour tout point de $U$. Comme $\lambda\omega=\omega$, on a alors

$$\left|{\int_{X}u\omega}\right|=\left|{\int_{X}\lambda u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{\lambda u}\mathclose{\|}_{X}\int_{X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}\leq(\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}+\varepsilon)\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.$$

La proposition en découle en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$.

Le cas des formes de type $(n-1,n)$ est analogue se traite de même. Soit $\lambda$ une fonction lisse égale à $1$ au voisinage de $\partial X\cap K$. La forme $\lambda\omega-\omega$ est nulle au voisinage de $\partial X$ ; d’après la proposition 3.10.7, son intégrale de bord est nulle. On a alors

$$\left|{\int_{\partial X}u\omega}\right|=\left|{\int_{\partial X}\lambda u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{\lambda u}\mathclose{\|}_{X}\int_{\partial X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}.$$

La proposition en résulte en considérons de telles fonctions $\lambda$ dont le support tend vers $\partial X\cap K$. ∎