Il suffit de prouver que tout point de $X$ possède un voisinage sur lequel la trace de cet ensemble est finie.

Soit $x\in X$. Il existe un G-recouvrement fini et relativement strict $((X_{\alpha},x))$ de $(X,x)$ qui trivialise chacun des $\bar{E}_{i}$. Pour tout $i$, le fibré métrisé $\bar{E}_{i}$ peut être défini, au voisinage de $x$, par un cocycle $(g_{\alpha,\beta}^{(i)})$, subordonné à $((X_{\alpha},x))$, avec $g_{\alpha,\beta}^{(i)}\in\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ pour tout $(i,\alpha,\beta)$. Quitte à raffiner ce recouvrement, on peut supposer que chacun des $\widetilde{(X_{\alpha},x)}$ est de la forme $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{f_{\alpha,1},\ldots,f_{\alpha,n_{\alpha}}\}$ pour une certaine famille $(f_{\alpha,j})$ d’éléments de $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$. En renumérotant l’ensemble de toutes les fonctions $f_{\alpha,j}$ et en raffinant encore, on peut ensuite supposer qu’il existe une famille finie $(f_{j})$ d’éléments de $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$, et, pour tout couple $(j,\alpha)$, un exposant $\epsilon_{j,\alpha}\in\{1,-1\}$ tels que $\widetilde{(X_{\alpha},x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{f_{i}^{\epsilon_{j,\alpha}}\}_{j}$ pour tout $\alpha$. Relevons chacune des $f_{j}$ en une fonction analytique inversible $h_{j}$ sur $(X,x)$.

Soit $V$ un voisinage analytique compact de $x$ possédant les propriétés suivantes :

• —

  les $h_{j}$ sont définies et inversibles sur $V$ ;

• —

  si l’on note $V_{\alpha}$ le domaine analytique de $V$ défini par la conjonction des conditions $\mathopen{|}{h_{j}}\mathclose{|}^{\epsilon_{j,\alpha}}\leq 1$ alors les $V_{\alpha}$ sont affinoïdes et recouvrent $V$  ;

• —

  chacune des $g_{\alpha,\beta}^{(i)}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}(V)$, sa restriction à $V_{\alpha}\cap V_{\beta}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(V_{\alpha}\cap V_{\beta})$, et $\bar{E}_{i}|_{V}$ est défini par le cocycle $(g_{\alpha,\beta}^{(i)})$.

Pour tout $\alpha$, on note $\mathscr{A}_{\alpha}$ l’algèbre des fonctions analytiques sur $V_{\alpha}$ ; pour tout couple $(\alpha,\beta)$, on note $\mathscr{A}_{\alpha,\beta}$ l’algèbre des fonctions $k$-analytiques sur $V_{\alpha}\cap V_{\beta}$.

Soit $y\in V$. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux indices tels que $y\in V_{\alpha}\cap V_{\beta}$. Soient $\lambda_{\alpha}(y)$, $\lambda_{\beta}(y)$ et $\lambda_{\alpha,\beta}(y)$ les corps résiduels des images respectives de $y$ sur $\operatorname{Spec}(\tilde{\mathscr{A}_{\alpha}})$, $\operatorname{Spec}(\tilde{\mathscr{A}_{\beta}})$ et $\operatorname{Spec}(\tilde{\mathscr{A}_{\alpha,\beta}})$. En vertu de nos hypothèses, $V_{\alpha}\cap V_{\beta}$ est défini en tant que sous-ensemble de $V_{\alpha}$ par une conjonctions de conditions de la forme $\mathopen{|}{g}\mathclose{|}=1$ où $g$ est une fonction analytique dont la norme sur $V_{\alpha}$ est majorée par 1. D’après la proposition 3.1 (ii) de [53], l’injection canonique $\lambda_{\alpha}(y)\hookrightarrow\lambda_{\alpha,\beta}(y)$ est un isomorphisme. Pour la même raison, $\lambda_{\beta}(y)\hookrightarrow\lambda_{\alpha,\beta}(y)$ est un isomorphisme. On dispose donc d’une extension de type fini $\lambda(y)$ de $\tilde{k}$, canoniquement identifiée à $\lambda_{\alpha}(y)$ pour tout $\alpha$ tel que $y\in V_{\alpha}$, et à $\lambda_{\alpha,\beta}(y)$ dès que $y\in V_{\alpha}\cap V_{\beta}$. Le corps $\lambda(y)$ se plonge dans $\widetilde{{\mathscr{H}}(y)}$.

La réduction $\widetilde{(V,y)}$ est réunion des $\widetilde{(V_{\alpha},y)}$ qui sont tous, par construction, définis par des fonctions appartenant au sous-corps $\lambda(y)$ de $\widetilde{{\mathscr{H}}(y)}$. Pour tout indice $i$, le fibré résiduel ${\mathsf{E}_{i}|_{V}}(y)$ est défini par le cocycle $(\widetilde{g_{\alpha,\beta}^{(i)}(y)})$, constitué lui aussi de fonctions appartenant à $\lambda(y)$.

Il s’ensuit que la dimension de définition simultanée des $\overline{E_{i}|_{V}}$ en $y$ est majorée par le degré de transcendance de $\lambda(y)$ sur $\tilde{k}$. Si, de plus, $y$ appartient à l’intérieur topologique de $V$ dans $X$, on a ${\mathsf{E}_{i}|_{V}}(y)={\mathsf{E}_{i}}(y)$ pour tout $i$, et la dimension de définition simultanée des $\bar{E}_{i}$ en $y$ est donc inférieure ou égale au degré de transcendance de $\lambda(y)$ sur $\tilde{k}$.

Soit $\Sigma$ l’ensemble des points $y$ de $V$ en lesquels $\lambda(y)$ est de degré de transcendance $n$ sur $\tilde{k}$. Il résulte de [7], prop. 2.4.4 (dans le cas strict) et de [53], prop. 3.3 (dans le cas général) que l’ensemble $\Sigma$ est fini, d’où la proposition. ∎