Soit $f\colon T\to T^{\prime}$ un morphisme affines et à fibres finies entre tores de même dimension $n$  ; en d’autres termes, $f$ est composée d’une isogénie et d’une translation. Le morphisme $f$ est fini, plat et surjectif, et l’application affine $f_{\text{trop}}$ est bijective.

Soit $x\in T$, soit $d$ la dimension tropicale de $\operatorname{id}_{T}$ en $x$, et soit $\delta$ la dimension tropicale de $\operatorname{id}_{T^{\prime}}$ en $f(x)$.

Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ dans $T$ tel que l’image $V_{\text{trop}}$ de $V$ dans $T_{\text{trop}}$ soit de dimension $d$. Le polytope $f_{\text{trop}}(V_{\text{trop}})$ est de dimension $d$, et coïncide avec $f(V)_{\text{trop}}$.

Comme $f$ est fini et plat, il est ouvert, et $f(V)$ est donc un voisinage de $f(x)$. La dimension de $f(V)_{\text{trop}}$ est par conséquent supérieure ou égale à $\delta$  ; ainsi, $d\geq\delta$.

Soit $W$ un voisinage affinoïde de $f(x)$ dans $T^{\prime}$ tel que $W_{\text{trop}}$ soit de dimension $\delta$. Comme $f$ est surjective, $f^{-1}(W)$ se surjecte sur $W$ et l’on a donc l’égalité$f_{\text{trop}}(f^{-1}(W)_{\text{trop}})=W_{\text{trop}}$  ; il s’ensuit que $f^{-1}(W)_{\text{trop}}$ est de dimension $\delta$. Comme c’est un voisinage de $x$, sa dimension est supérieure ou égale à $d$  ; on a ainsi $\delta\geq d$, d’où finalement l’égalité $d=\delta$.

Il en résulte que $d=n$ si et seulement si $\delta=n$, c’est-à-dire que $x\in S(T)$ si et seulement si $f(x)\in S(T^{\prime})$. Autrement dit, $S(T)=f^{-1}(S(T^{\prime}))$.

On dispose dès lors d’un diagramme commutatif

$$\vbox{\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 14.19275pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-13.85938pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{S(T)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 13.85939pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 21.3854pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{f}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 38.19275pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-24.68451pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 38.19275pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{S(T^{\prime})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 53.45491pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 53.45491pt\raise-24.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-14.19275pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{T_{\text{trop}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.19275pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.8506pt\raise-25.60117pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.44444pt\hbox{$\scriptstyle{f_{\text{trop}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 39.26216pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 39.26216pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{T^{\prime}_{\text{trop}}}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces}}}}}.$$

Les flèches verticales et la flèche horizontale du bas étant une bijection affine, $f$ induit une bijection affine $S(T)\simeq S(T^{\prime})$.

Commençons par quelques conventions de vocabulaire. Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme entre espaces $k$-analytiques et soit $x\in X$. On dira que $f$ est fini et plat au-dessus de $x$ s’il existe un voisinage analytique $V$ de $x$ tel que $f^{-1}(V)\to V$ soit fini et plat. On peut alors toujours choisir un tel $V$ connexe  ; le degré de $f^{-1}(V)\to V$ ne dépend dès lors pas du choix de $V$, et on l’appelle le degré de $f$ au-dessus de $x$. Il s’ensuit que l’ensemble des points de $X$ au-dessus desquels $f$ est fini et plat est un ouvert, sur lequel le degré est localement constant.

Soit $x\in X$ un point au-dessus duquel $f$ est fini et plat, et soit $V$ un voisinage analytique de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(V)\to V$ soit fini et plat. Soit $U$ un ouvert de $X$ contenant $f^{-1}(x)$. Il existe un voisinage analytique $W$ de $x$ dans $V$ tel que $f^{-1}(W)\subset f^{-1}(V)\cap U$, par propreté topologique de $f^{-1}(V)\to V$  ; par conséquent, $f|_{U}$ est fini et plat au-dessus de $x$, de même degré que $Y\to X$.

Remarquons que $f$ est fini et plat de degré nul au-dessus de $x$ si et seulement si il existe un voisinage analytique $V$ de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(V)=\emptyset$  ; c’est donc le cas si et seulement si $x\notin\overline{f(Y)}$.

Soit $\Sigma$ un sous-ensemble de $X$. On dira que $f$ est fini et plat au-dessus de $\Sigma$ s’il est fini et plat au-dessus de tout point de $\Sigma$. Si c’est le cas et si $\Sigma$ est connexe et non vide, le degré de $f$ au-dessus au-dessus d’un point $x$ de $\Sigma$ ne dépend pas de $x$ et sera appelé le degré de $f$ au-dessus de $\Sigma$.

Soit $U$ un ouvert de $X$ contenant $f^{-1}(\Sigma)$. En vertu de ce qui précède, si $f$ est fini et plat au-dessus de $\Sigma$, il en va de même de $f|_{U}$, et dans le cas où $\Sigma$ est en plus connexe et non vide, le degré de $f|_{U}$ au-dessus de $\Sigma$ est égal à celui de $f$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique compact de dimension $d$, soit $T$ un tore de dimension $d$, et soit $f\colon X\to T$ un morphisme. Soit $t\in S(T)$.

La fibre $f^{-1}(t)$ est finie et purement de dimension nulle. En effet, soit $x\in f^{-1}(t)$. On a $d\geq d_{k}(x)\geq d_{k}(t)=d$. Par conséquent, $d_{k}(x)=d_{k}(t)=d$, ce qui entraîne que $d_{{\mathscr{H}}(t)}(x)=0$  ; ainsi, $f^{-1}(t)$ est purement de dimension nulle. C’est alors un sous-ensemble fermé et discret, et partant fini, du compact $X$.

Supposons que $f^{-1}(t)\cap\partial X=\emptyset$. Le morphisme $f$ est alors fini et plat au-dessus de $t$. En effet, soit $x\in f^{-1}(t)$. Comme $f$ est de dimension nulle et sans bord en $x$, elle est finie en $x$ ([8], cor. 3.1.10). Il existe donc un voisinage affinoïde $V_{x}$ de $x$ dans $X$ et un voisinage affinoïde $W_{x}$ de $t$ dans $T$ tels que $f$ induise un morphisme fini $V_{x}\to W_{x}$  ; quitte à restreindre $V_{x}$, on peut supposer qu’il ne rencontre pas les antécédents de $t$ autres que $x$. Posons $W=\bigcap_{x\in f^{-1}(t)}W_{x}$. Par construction, $W$ est un voisinage affinoïde de $t$ dans $T$ tel que $f^{-1}(W)\to W$ soit fini.

Par ailleurs, l’anneau local $\mathscr{O}_{T,t}$ est un corps (cf. par exemple [31], 0.19)  ; il s’ensuit que $f$ est fini et plat au-dessus de $t$, comme annoncé.

Soit $\Sigma$ l’image réciproque de $S(T)$ par $f$. Comme $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope de $T_{\text{trop}}$ de dimension au plus $d-1$, le compact $f(\partial X\cap\Sigma)$ est contenu dans un polytope $\Delta$ de $S(T)$ de dimension au plus $d-1$.

Pour tout $t\in S(T)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\Delta$ l’application $f$ est finie et plate au-dessus de $t$ en vertu de ce qui précède, puisque $f^{-1}(t)$ est contenu dans $X-\partial X$. Autrement dit, $f$ est fini et plat au-dessus de $S(T)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\Delta$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique de dimension $d$, soit $T$ un tore de dimension quelconque et soit $T^{\prime}$ un tore de dimension $d$  ; on se donne un moment $f\colon X\to T$ et un morphisme affine surjectif $p\colon T\to T^{\prime}$. Comme $X$ est compact, $f_{\text{trop}}(X)$ est un polytope compact de $T_{\text{trop}}$ de dimension au plus $d$, et $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope compact de dimension au plus $d-1$.

Soit $Q$ un ouvert connexe et non vide de $T^{\prime}_{\text{trop}}$ contenu dans $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)$ et ne rencontrant pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$  ; remarquons qu’il existe une décomposition cellulaire de $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)$ dont toutes les cellules ouvertes de dimension $d$ satisfont cette propriété. Soit $(P_{i})$ la famille des composantes connexes de $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)$.

L’ouvert $Q$ ne rencontrant pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$, l’ouvert $Q_{\mathrm{sq}}$ de $S(T^{\prime})$ ne rencontre pas $p\circ f(\partial X)$, et $p\circ f$ est dès lors fini et plat au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$, qui est connexe et non vide. Soit $d$ le degré de $p\circ f$ au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$.

L’ouvert $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ de $X$ contient $(p\circ f)^{-1}(Q_{\mathrm{sq}})$  ; il est donc fini et plat de degré $d$ au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$.

On a $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod P_{i}$  ; il vient $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$, chacun d’eux étant ouvert et fermé dans $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)$. Par conséquent, $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ est pour tout $i$ fini et plat au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$  ; notons $d_{i}$ le degré correspondant. L’égalité $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod P_{i}$ implique que les $d_{i}$ sont presque tous nuls et que $d=\sum d_{i}$.

Fixons $i$. L’entier $d_{i}$ est alors nul si et seulement si $p_{\text{trop}}(P_{i})\neq Q$.

En effet, supposons que $d_{i}\neq 0$  ; dans ce cas, tout point de $Q_{\mathrm{sq}}$ a au moins un antécédent dans $f^{-1}_{\text{trop}}(P_{i})$, d’où il découle que $(p\circ f)_{\text{trop}}(f^{-1}_{\text{trop}}(P_{i}))=Q$, puis que $p_{\text{trop}}(P_{i})=Q$, d’où la surjectivité de $P_{i}\to Q$.

Réciproquement, supposons que $P_{i}$ se surjecte sur $Q$. Il existe alors nécessairement une cellule $C$ de $T_{\text{trop}}$ de dimension $d$, contenue dans $f_{\text{trop}}(X)$, s’envoyant injectivement dans $T^{\prime}_{\text{trop}}$ et rencontrant $P_{i}$. Il existe dès lors un polytope compact non vide $P$ de dimension $d$ contenu dans $P_{i}$ et tel que $P\simeq p_{\text{trop}}(P)$. Appelons $W$ le compact $f_{\text{trop}}^{-1}(P)$. Comme $P$ est contenu dans $f_{\text{trop}}(X)$ on a $f_{\text{trop}}(W)=P$  ; par conséquent, $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)=p_{\text{trop}}(P)$ est un polytope de dimension $d$. Si la dimension tropicale de $(p\circ f)|_{W}$ en tout point de $W$ était majorée par $d-1$ le polytope $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)$ serait de dimension au plus $d-1$, ce qui est contradictoire. Il existe donc un point de $W$ en lequel la dimension tropicale de $(p\circ f)|_{W}$ est égale à $d$  ; il en résulte que $(p\circ f)(W)$ rencontre $S(T^{\prime})$. Compte-tenu du fait que $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)=p_{\text{trop}}(P)\subset Q$, il s’ensuit que $(p\circ f)(W)$ rencontre $Q_{\mathrm{sq}}$. Ainsi, il existe un point $x\in Q_{\mathrm{sq}}$ dont la fibre rencontre $W\subset f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$  ; le degré de $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ au-dessus de $x$ est donc non nul, ce qu’il fallait démontrer.

Changement de paramétrage au but. Donnons-nous un tore $T^{\prime\prime}$ de dimension $d$ et un morphisme affine et surjectif $q\colon T^{\prime}\to T^{\prime\prime}$. Un tel morphisme est fini et plat  ; notons $e$ son degré. L’application $q_{\text{trop}}\colon T^{\prime}_{\text{trop}}\to T^{\prime\prime}_{\text{trop}}$ est alors une bijection affine, $q^{-1}(S(T^{\prime\prime}))$ s’identifie à $S(T^{\prime})$ et $S(T^{\prime})\to S(T^{\prime\prime})$ est un homéomorphisme (2.4.1).

Soit $R$ l’image de $Q$ par la bijection affine $q_{\text{trop}}$. Si $z\in R_{\mathrm{sq}}$ alors $z$ a un unique antécédent $x$ sur $T^{\prime}$, qui est situé sur $S(T^{\prime})$ et par conséquent sur $Q_{\mathrm{sq}}$  ; le morphisme $q$ est fini et plat de degré $e$ en $x$. Il s’ensuit que $X$ est fini et plat de degré $de$ au-dessus de $R_{\mathrm{sq}}$  ; par le même raisonnement, $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ est fini et plat de degré $d_{i}\cdot e$ sur $R_{\mathrm{sq}}$.