L’énoncé à prouver étant G-local sur $(X,x)$, on peut supposer que le fibré métrisé $\bar{E}$ est trivial, c’est-à-dire égal à $\mathscr{O}_{X}^{n}$ avec sa métrique standard. Dans ce cas ${\mathsf{E}}\simeq\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}^{n}$. La famille $(e_{1},\ldots,e_{n})$ correspond alors à une matrice $g\in\operatorname{M}_{n}(\mathscr{O}_{X}^{\circ}(X,x))$ et la famille $(\tilde{e_{1}},\ldots,\tilde{e_{n}})$ à la matrice réduite $\tilde{g}(x)\in\operatorname{M}_{n}(\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}(\widetilde{X,x}))$. La famille $(e_{1},\ldots,e_{n})$ est une base orthonormée de $\bar{E}$ si et seulement si $\mathopen{|}{\det g}\mathclose{|}=1$ sur $(X,x)$. Cela revient à demander que $\det\tilde{g}$ soit une fonction inversible sur $\widetilde{(X,x)}$ et donc que $(\tilde{e_{1}},\ldots,\tilde{e_{n}})$ soit une base de ${\mathsf{E}}$, comme annoncé. ∎