Par récurrence, il suffit de prouver que si une forme $\beta$ est fortement positive, alors $\alpha\wedge\beta$ est de même nature que $\alpha$. On peut supposer que $\beta$ est de la forme $\beta_{1}\wedge\mathrm{J}\beta_{1}\wedge\dots\wedge\beta_{m}\wedge\mathrm{J}\beta_{m}$, où les $\beta_{j}$ sont des formes de type $(1,0)$. Dans chacun des trois cas, la preuve est alors directe. ∎

On peut supposer que $V=\mathbf{R}^{n}$. Soit $\lambda$ la $(1,1)$-forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\mathopen{\|}{x^{2}}\mathclose{\|}$ sur $\mathbf{R}^{n}$. Comme $\lambda^{p}$ est fortement positive, elle appartient à l’intérieur du cône des formes de type $(p,p)$ strictement positives sur $\mathbf{R}^{n}$ ; il existe donc une fonction strictement positive $c$ sur $P$ telle que $\alpha+c\lambda^{p}$ soit une forme fortement positive.

Il suffit de poser $\alpha_{1}=\alpha+c\lambda^{p}$ et $\alpha_{2}=c\lambda^{p}$. ∎

Soit $(f_{i},P_{i})$ une famille de cartes tropicales, de sorte que $f_{i}$ soit un moment sur un ouvert $V_{i}$ de $X$ et $P_{i}$ un polytope compact contenant $f_{i,{\text{trop}}}(V_{i})$, et, pour tout $i$, soit $\alpha_{i}$ une forme sur $P_{i}$ telle que $\omega\mathrel{|}{V_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i}$. Par hypothèse, il existe une famille localement finie $(\lambda_{i})$ de fonctions lisses sur $X$, subordonnée à ce recouvrement, telles que $0\leq\lambda_{i}\leq 1$ pour tout $i$ et $\sum\lambda_{i}$ est identiquement égale à $1$ au voisinage du support de $\omega$.

Pour tout $i$, choisissons des formes fortement positives $\alpha_{i,1}$ et $\alpha_{i,2}$ sur $P_{i}$ telles que $\alpha_{i}=\alpha_{i,1}-\alpha_{i,2}$. Posons alors $\omega_{1}=\sum\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i,1}$ et $\omega_{2}=\sum\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i,2}$ ; ce sont des formes lisses et fortement positives telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$. ∎

Il faut prouver la continuité de $S$. Soit $(\omega_{n})$ une suite de formes lisses qui converge vers $\omega$ et prouvons que $\langle S,\omega_{n}\rangle$ converge vers $\langle S,\omega\rangle$.

Soit $(U_{i})$ un recouvrement fini de $\operatorname{supp}(\omega)$ par des affinoïdes de $X$ sur lequel les $\omega_{n}$ et $\omega$ soient tropicales. Pour tout $i$, soit $f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i}$ un moment, notons $P_{i}=(f_{i})_{\text{trop}}(U_{i})$, et soit $\alpha_{i}$ (resp. $\alpha_{i,n}$ pour $n\geq 0$) une forme sur $P_{i}$ telle que $\omega|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i}$ (resp. $\omega_{n}|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i,n}$. Pour tout $i$, soit $\lambda_{i}$ une fonction lisse sur $X$ dont le support est compact et contenu dans $\operatorname{Int}(U_{i})$, à valeurs dans $[0,1]$, telle que $\sum\lambda_{i}$ soit identiquement égale à $1$ dans un voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$. On a alors

Pour tout $i$, il existe un affinoïde $V_{i}$ contenu dans l’intérieur de $U_{i}$, contenant le support de $\lambda_{i}\omega_{n}$ et tropicalisant cette forme. Notons $Q_{i}=(f_{i})_{{\text{trop}}}(V_{i})$. Par hypothèse, les coefficients de $\alpha_{i,n}$ convergent uniformément vers ceux de $\alpha_{i}$ sur chaque face de $Q_{i}$ Soit $\beta_{i}$ une forme lisse strictement positive sur $Q_{i}$ Pour tout $n$, il existe un nombre réel $\varepsilon_{n}$ tel que $-\varepsilon_{n}\beta_{i}\leq(\alpha_{i,n}-\alpha_{i})\leq\varepsilon_{n}\beta_{i}$ pour tout $i$, et on peut le choisir de sorte que la suite $(\varepsilon_{n})$ tende vers $0$. Cela entraîne que

donc $\langle S,\lambda_{i}\omega_{n}\rangle$ tend vers $\langle S,\lambda_{i}\omega\rangle$. Finalement, $\langle S,\omega_{n}\rangle$ tend vers $\langle S,\omega\rangle$, ainsi qu’il fallait démontrer. ∎

Soit $S$ un courant positif de bidegré $(0,0)$. Pour toute fonction lisse $f$, à support compact dans $\operatorname{Int}(X)$, on a donc $\langle S,f\rangle\geq 0$.

Soit $K$ une partie compacte de $\operatorname{Int}(X)$, soit $U$ un voisinage de $K$ dans $\operatorname{Int}(X)$. Soit $\lambda_{K}\colon X\rightarrow[0,1]$ une fonction lisse que vaut $1$ au voisinage de $K$ et dont le support est compact et contenu dans $\operatorname{Int}(X)$. Si $f$ est une fonction lisse de support contenu dans $K$, on a $f(x)=f\lambda_{K}(x)\leq\mathopen{\|}{f}\mathclose{\|}_{K}\lambda_{K}(x)$ pour tout $x\in K$ ; cette inégalité vaut aussi pour $x\notin K$ puisqu’alors $f(x)=0$ et $\lambda_{K}(x)\geq 0$. Par suite,

Appliquant cette inégalité à $-f$, on en déduit qu’il existe un nombre réel $C_{K}$ tel que

pour toute fonction lisse dont le support est contenu dans $K$.

Considérons un voisinage relativement compact $V$ de $K$ qui est contenu dans $U$. Toute fonction continue $f$ à support dans $K$ est limite uniforme d’une suite $(f_{j})$ fonctions lisses à support dans $V$ ; si $f$ est positive, on peut aussi supposer que pour tout $j$, $f_{j}$ est positive. L’inégalité précédente, appliquée au compact $\bar{V}$, entraîne que la suite $(\langle S,f_{j}\rangle)$ est de Cauchy, et que sa limite est indépendante du choix de la suite $(f_{j})$ choisie ; elle est aussi indépendante du choix d’un compact $K$ et d’un voisinage relativement compact $V$ tels que $\operatorname{supp}(f)\subset K\subset V\subset\operatorname{Int}(X)$. Notons $\mu(f)$ cette limite. Si $f$ est lisse, on a $\mu(f)=\langle S,f\rangle$. Si $f$ est positive, $\langle S,f_{j}\rangle\geq 0$ pour tout $j$, donc $\mu(f)\geq 0$. En outre, l’application $f\mapsto\mu(f)$ est linéaire. C’est donc une mesure positive sur $\operatorname{Int}(X)$ telle que $S=[\mu]$.

Enfin, si $S=[\mu]=[\nu]$, les mesures $\mu$ et $\nu$ coïncident sur les fonctions lisses. Par l’argument de densité ci-dessus, elles sont égales. ∎

Soit $\omega$ une forme lisse à support propre sur $X$, choisissons des formes lisses, fortement positives $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sur $X$ telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$ (lemme 5.3.3). Soit aussi $U$ un voisinage relativement compact de $\operatorname{supp}(\omega)$ et $\lambda$ une fonction lisse sur $X$, à support dans $U$, qui vaut $1$ au voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$ et à valeurs positives ou nulles. On a donc $\omega=\lambda\omega=\lambda\omega_{1}-\lambda\omega_{2}$ ; cela permet de supposer que $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sont à support dans $U$.

Les applications $u\mapsto\langle T,u\omega_{1}\rangle$ et $u\mapsto\langle T,u\omega_{2}\rangle$ sont des courants positifs de degré $0$ à support dans $U$, donc définissent des mesures positives sur $X$, dont le support est contenu dans $U$ (proposition 5.4.6). Leur différence est une mesure sur $X$ à support contenu dans $U$. Comme le support de $\omega$ est propre et contenu dans $U$, cette mesure s’étend par continuité en une application linéaire continue sur l’espace des fonctions continues sur $X$ muni de la topologie de la semi-norme de la convergence uniforme sur $U$. Cela définit $\langle uT,\omega\rangle$ pour toute fonction continue $u$ sur $X$ et toute forme à support propre $\omega$ sur $X$. Si $u$ et $\omega$ sont positives, on a bien $\langle uT,\omega\rangle\geq 0$, comme affirmé dans l’énoncé.

Lorsque $u$ est positive, l’application $\omega\mapsto\langle uT,\omega\rangle$ est linéaire et est positive en toute forme faiblement positive. D’après le lemme 5.4.4, c’est alors un courant positif. Le cas d’une fonction continue $u$ arbitraire en résulte. ∎

Supposons $[u]=0$ et démontrons que $u$ est nulle sur $\operatorname{Int}(X)$. Raisonnons par l’absurde et soit $x$ un point intérieur de $X$ tel que $u(x)\neq 0$. Il existe alors une fonction continue $v$ sur $X$ telle que $uv$ soit identiquement égale à $1$ dans un voisinage $U$ de $X$. (Considérer un voisinage $V$ de $x$ sur lequel $u$ ne s’annule pas, puis un voisinage $U$ de $x$ contenu dans $V$ sur l’adhérence duquel $\mathopen{|}{u}\mathclose{|}$ admet une borne inférieure strictement positive. Soit $\lambda$ une fonction lisse qui vaut $1$ sur $U$ et dont le support est contenu dans $V$. La fonction $\lambda/u$ sur $V$ se prolonge par $0$ en une fonction continue $v$ sur $X$ et l’on a $uv=1$ en tout point de $U$.) La définition du courant $[u]$ entraîne que le courant $[vu]$ est identiquement nul. Par suite, la restriction à $U$ du courant d’intégration est nul, ce qui est absurde. ∎