Fixons une classe admissible $\mathscr{F}$ de fonctions numériques. Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ et soit $P$ un polytope de $V$ ; on note $j$ l’injection canonique de $P$ dans $V$.

Soit $U$ un ouvert de $P$. On définit $\mathscr{N}^{p,q}(U)$ comme le sous-espace vectoriel de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})(U)$ constitué des formes $\omega$ possédant la propriété suivante : pour toute cellule $C$ de $V$ contenue dans $P$, l’image de $\omega$ dans $\mathscr{F}^{p,q}_{\langle C\rangle}(\langle C\rangle\cap U)$, dont le germe au voisinage de $C\cap U$ est défini sans ambiguïté, est nulle en tout point de $C\cap U$. Comme

$$\mathscr{F}^{p,q}_{\langle C\rangle}=\bigoplus_{|I|=p,|J|=q}\mathscr{F}_{\langle C\rangle}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J},$$

cette propriété se traduit, en coordonnées, par la nullité d’un certain nombre d’applications sur $C\cap U$.

Pour vérifier qu’une section de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})(U)$ appartient à $\mathscr{N}^{p,q}(U)$, il suffit de s’assurer que la condition ci-dessus est satisfaite sur un ensemble de cellules recouvrant $P$ (par exemple, sur une décomposition cellulaire de $P$). Lorsque $\mathscr{F}$ est contenue dans la classe des fonctions continues, on peut se contenter de tester l’annulation requise en les points intérieurs des cellules considérées.

Il est immédiat que $\mathscr{N}^{p,q}$ est un sous-faisceau en $\mathbf{R}$-espaces vectoriels de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})$. On définit alors le faisceau $\mathscr{F}_{P}^{p,q}$ comme le faisceau quotient de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})$ par son sous-faisceau $\mathscr{N}^{p,q}$. Cette définition est compatible avec la précédente lorsque $P$ est un sous-espace affine de $V$.

Le faisceau $\mathscr{F}^{*,*}_{P}$ est un $\mathscr{A}_{P}$-module gradué, et une $\mathscr{F}_{P}$-algèbre graduée si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication. On écrira $\mathscr{F}_{P}$ au lieu de $\mathscr{F}^{0,0}_{P}$, et parfois $\Omega^{p}_{P}$ au lieu de $\mathscr{A}^{p,0}_{P}$. Lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, $\mathscr{F}_{P}$ un faisceau d’anneaux.

On notera que la notion de fonction (et donc de superforme) lisse sur un polytope d’un espace affine dépend de la façon dont ce polytope est plongé.

Soit par exemple $P$ le graphe de $\mathbf{R}^{2}$, réunion des segments $[(-1,0),(0,0)]$ et $[(0,0),(1,1)]$ et $Q=[-1,1]$ son image dans $\mathbf{R}$ par la première projection $p\colon\mathbf{R}^{2}\rightarrow\mathbf{R}$. L’application $p$ induit un isomorphisme d’espaces linéaires par morceaux de $P$ sur $Q$.

La fonction $f$ sur $Q$ définie par $f(x)=\max(x,0)$ est continue, mais n’est pas lisse. En revanche, la fonction $f\circ p$ sur $Q$ est lisse, comme restriction de la seconde coordonnée.

La tige en l’origine du faisceau des $(1,0)$-formes sur $P$ est de dimension $2$, engendrée par les images de $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x$ et $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}y$, tandis que la tige correspondante sur $Q$ n’est que de dimension $1$, engendrée par $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x$.

Soit $P$ un polytope d’un espace affine réel $V$ de dimension finie et soit $\omega$ une forme de type $(p,n)$ à coefficients mesurables sur un ouvert $U$ de $P$.

Si $W$ est un sous-espace affine de $V$ de dimension $p$ et si $\mu$ est un élément de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{W})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$, on définit les intégrales $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ et, le cas échéant, $\int_{U\cap W}\langle\omega,\mu\rangle$ exactement comme en 1.3.3 : elles se ramènent à des intégrales de formes différentielles classiques, cf. la remarque 1.4.2.

L’opérateur de symétrie $\mathrm{J}$ applique $\mathscr{N}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}^{q,p}$ et induit un morphisme de faisceaux, toujours noté $\mathrm{J}$, de $\mathscr{F}^{p,q}_{P}$ dans $\mathscr{F}^{q,p}_{P}$ tel que $\mathrm{J}\circ\mathrm{J}=\operatorname{id}$.

Supposons que $\mathscr{F}=\mathscr{A}$. Les opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ sur $j^{-1}\mathscr{A}_{V}^{p,q}$ appliquent alors $\mathscr{N}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}^{p+1,q}$ et $\mathscr{N}^{p,q+1}$ respectivement. Ils induisent donc des opérateurs différentiels de $\mathscr{A}^{p,q}_{P}$ dans $\mathscr{A}^{p+1,q}_{P}$ et $\mathscr{A}^{p,q+1}_{P}$ respectivement.

Ces constructions sont fonctorielles pour les morphismes affines. Soit $P$ et $P^{\prime}$ des polytopes de $V$ et $V^{\prime}$ respectivement et soit $f\colon P\to P^{\prime}$ une application égale à la restriction d’une application affine $g\colon V\to V^{\prime}$. Notons $j$ et $j^{\prime}$ les immersions de $P$ dans $V$ et de $P^{\prime}$ dans $V^{\prime}$. Soit $(p,q)\in\mathbf{N}\times\mathbf{N}$. L’application affine $g$ induit un morphisme de faisceaux de $j^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{V^{\prime}}$ dans $(j^{\prime})^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{V}$ qui applique $\mathscr{N}_{P^{\prime}}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}_{P}^{p,q}$. Il en résulte un homomorphisme, noté $f^{*}$, de $f^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{P^{\prime}}$ dans $\mathscr{F}^{p,q}_{P}$.

Ces homomomorphismes respectent les structures de modules gradués, et d’algèbres graduées si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication. Ils commutent à l’involution $J$, et aux opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$.

Si $P$ et $Q$ sont deux polytopes de $V$ tels que $Q\subset P$ et si $j$ désigne l’inclusion de $Q$ dans $P$, on écrira par abus $\alpha|_{Q}$ au lieu de $j^{*}\alpha$.