Soit $u$ une fonction sur $X$. Si $u$ est continue et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u]$ est un courant positif, il en reste de même après restriction à tout ouvert $U$ de $X$, si bien que $u|_{U}$ est psh. Inversement, supposons que tout point de $X$ ait un voisinage sur lequel $u$ est psh. Soit $(U_{i})$ une famille d’affinoïdes de $X$ dont les intérieurs recouvrent $X$ telle que pour tout $i$, la restriction de $u$ à $U_{i}$ soit psh. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(\mathring{U}_{i})$ formée de fonctions lisses. Notons $n=\dim(X)$ et soit $\omega\in\mathscr{A}^{n-1,n-1}_{\text{c}}(X)$ une forme lisse positive. On écrit $\omega=\sum_{i}\lambda_{i}\omega$, où la somme n’a qu’un nombre fini de termes non nuls puisque le support de $\omega$ est compact. Pour tout $i$, $\lambda_{i}\omega$ est une forme lisse positive dans $\mathscr{A}^{n-1,n-1}_{\text{c}}(U_{i})$. Puisque $u|_{U_{i}}$ est psh, on a donc $\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\lambda_{i}\omega\rangle\geq 0$. Par suite,

$$\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\omega\rangle=\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\sum_{i}\lambda_{i}\omega\rangle=\sum_{i}\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\lambda_{i}\omega\rangle\geq 0,$$

de sorte que le courant $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u]$ est positif, comme annoncé. ∎

Supposons que la restriction de $v$ à toute face maximale de $f_{\text{trop}}(X)$ soit convexe. Soit $\omega$ une $(n-1,n-1)$-forme lisse positive et prouvons que $\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f^{*}v],\omega\rangle\geq 0$. Soit $(U_{i})$ une famille d’affinoïdes de $X$ dont les intérieurs recouvrent $X$ telle que pour tout $i$, la restriction de $\omega$ à $U_{i}$ soit tropicale, de la forme $f_{i}^{*}\alpha_{i}$, où $f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i}$ est un moment. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(\mathring{U}_{i})$ formée de fonctions lisses. Il n’est pas restrictif de supposer que le moment $f_{i}$ raffine le moment $f|_{U_{i}}$, c’est-à-dire qu’il existe un morphisme affine de tores $g_{i}\colon T_{i}\rightarrow T$ tel que $f|_{U_{i}}=g_{i}\circ f_{i}$. Posons alors $v_{i}=v\circ g_{i,{\text{trop}}}$ ; c’est une fonction continue sur $g_{i,{\text{trop}}}^{-1}(f_{\text{trop}}(X))$ ; sa restriction à chaque face maximale de $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ est convexe. On a alors

$$\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f^{*}v],\omega\rangle=\sum_{i}\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f_{i}^{*}g_{i}^{*}u],\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i}\rangle=\sum_{i}\int_{U_{i}}\lambda_{i}f_{i}^{*}(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{i}\wedge\alpha_{i}).$$

Pour tout $i$, soit $V_{i}$ un domaine affinoïde contenu dans l’intérieur de $U_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et contenant le support de $\lambda_{i}f_{i}^{*}(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{i}\wedge\alpha_{i})$. Quitte à changer les notations et à raffiner le moment $f_{i}$, on se ramène au cas où $\lambda_{i}=f_{i}^{*}\theta_{i}$. Soit $\mu_{i}$ le calibrage canonique de $f_{i,{\text{trop}}}(V_{i})$ ; on a donc

$$\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f^{*}v],\omega\rangle=\sum_{i}\int_{f_{i,{\text{trop}}}(V_{i})}\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{i}\wedge\theta_{i}\alpha_{i},\mu_{i}\rangle.$$

Puisque $u_{i}$ est convexe sur toute face maximale de $f_{i,{\text{trop}}}(V_{i})$, $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{i}$ est une $(1,1)$-forme fortement positive sur chacune de ces faces, et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{i}\wedge\theta_{i}\alpha_{i}$ est une $(n,n)$-forme positive. Ainsi, $\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f^{*}v],\omega\rangle$ est une somme d’intégrales de formes positives, donc est positive.

Démontrons maintenant la réciproque en supposant que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f^{*}v]$ est un courant positif. Soit $F$ une face maximale de $f_{\text{trop}}(X)$ ; prouvons que la restriction de $v$ à $\mathring{F}$ est convexe. Soit $\theta$ une fonction positive ou nulle sur $F$, nulle sur $\partial F$. Pour toute forme positive $\alpha$ de type $(n-1,n-1)$ sur $\langle F\rangle$, $\theta\alpha$ s’étend en une forme positive $\beta$ sur $f_{\text{trop}}(V)$ et la condition $\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[f^{*}v],\beta\rangle\geq 0$ entraîne que $\int_{\langle F\rangle}\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}v\wedge\theta\alpha,\mu_{F}\rangle\geq 0$. D’après la proposition 2.5 de [43], il en résulte que $v$ est convexe sur $\mathring{F}$, d’où la proposition. ∎