Soit $I$ une partie non vide de $\{1,\dots,m\}$ telle que la famille $(f_{i})_{i\in I}$ sépare $V$. Fixons $i\in I$. Chaque équation $f_{j}(x)=f_{i}(x)$, pour $j\in I$ ($j\neq i$), définit une hyperplan affine de $V$ ; par hypothèse, l’intersection de ces hyperplans est de cardinal au plus $1$. Par suite, l’ensemble $S$ est fini.

Soit $x$ un point de $V$. Au voisinage de $x$, on a donc $g=\max_{i\in I_{x}}f_{i}$. Autrement dit, si $y$ est assez petit, on a

$$g(x+y)=\max_{i\in I_{x}}f_{i}(x+y)=g(x)+\max_{i\in I_{x}}\overrightarrow{f_{i}}(y),$$

où $\overrightarrow{f_{i}}$ est la forme linéaire associée à $f_{i}$. D’après le lemme 5.7.2 qu’au voisinage de $x$, $g$ est limite uniforme d’une famille $(g_{\varepsilon})$ de fonctions convexes lisses provenant de l’espace affine $V_{x}$ image de $V$ par les formes $f_{i}$, pour $i\in I_{x}$. Si cet espace est de dimension $<n$, on a donc $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon})^{n}=0$, d’où $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}=0$ au voisinage de $x$.

Cela démontre que le support de la mesure $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}$ est contenu dans $S$, d’où la proposition. La dernière assertion est évidente. ∎

Soit $a=(a_{1},\dots,a_{m})$ une famille de nombres réels strictement positifs. Rappelons que $g_{\varepsilon}(x)=\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)$ est une fonction convexe, lisse, qui converge uniformément vers $g(x)$ quand $\varepsilon\rightarrow 0^{+}$. On a donc $\rangle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon})^{n},\rangle$. Remarquons que

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}$	$\displaystyle=\varepsilon^{-1}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon)}{\sum a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon))}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f_{i}$
		$\displaystyle\qquad-\varepsilon^{-1}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon)}{\sum a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon))}\frac{a_{j}\exp(f_{j}(x/\varepsilon)}{\sum a_{j}\exp(f_{j}(x/\varepsilon))}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f_{j}$

Par suite, pour toute fonction $\varphi$ sur $V$ qui est lisse à support compact, on a

	$\displaystyle\int_{V}\varphi\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle$	$\displaystyle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(x)\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}(x)^{n},\mu\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(\varepsilon x)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle=\varphi(0)\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle.$

Cela démontre l’égalité annoncée, avec $c=\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$. Si elle pourrait être établie directement (soit par un calcul, soit par des propriétés générales, cf. [43], Proposition 3.9), la convergence de cette dernière intégrale résulte aussi de ce calcul. En effet, prenons pour $\varphi$ une fonction positive ou nulle, égale à $1$ dans un voisinage $B$ de $0$. Comme $g_{1}$ est convexe, $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n}$ est une mesure positive. Alors,

	$\displaystyle\int_{V}\varphi\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle$	$\displaystyle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(\varepsilon x)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle\geq\limsup\int_{\varepsilon^{-1}B}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle=\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle.$

La positivité du courant $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}$ entraîne que $c\geq 0$. Si l’on soustrait $f_{1}$ de toutes les $f_{i}$, cela remplace $g$ et $g_{\varepsilon}$ par $g-f_{1}$ et $g_{\varepsilon}-f_{1}$, donc ne modifie pas $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}$. Cela permet de supposer que $f_{1}=0$. Si $(\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{1}},\dots,\overrightarrow{f_{m}}-\overrightarrow{f_{1}})$ ne contient pas de base du dual de $\overrightarrow{V}$, $g_{1}$ provient d’une fonction lisse sur un espace vectoriel de dimension $<n$. Par suite, $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n}=0$. ∎

Soit $x$ et $y$ des points distincts de $U$. Comme la fonction $f\colon y\mapsto h(x+t(y-x))$ est strictement convexe sur $[0,1]$, on a $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$ puis d’où $\langle\nabla h(y)-\nabla h(x),y-x\rangle>0$. En particulier, $\nabla h(x)\neq\nabla h(y)$.

La matrice jacobienne $\operatorname{Jac}(\nabla h)$ de l’application $\nabla h\colon U\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ n’est autre que la matrice hessienne $\mathscr{H}(h)$ de l’application $h$. D’après la formule de changement de variables dans les intégrales multiples, on a donc

$$\int_{U}(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=n!\int_{U}\det\mathscr{H}(h)=n!\int_{U}\det\operatorname{Jac}(\nabla h)=n!\operatorname{vol}(\nabla h(U)),$$

puisque, $h$ étant convexe, $\det\mathscr{H}(h)\geq 0$. ∎