Pour des problèmes de géométrie arithmétique sur un corps de fonctions $k(C)$, où $C$ est une variété algébrique projective sur un corps $k$, il est courant et fructueux de considérer un objet défini sur $k(C)$ (variété, faisceau, morphisme…) comme un germe d’objet sur $C$ puis de le prolonger sur $C$ tout entier. La conjecture de Mordell sur les corps de fonctions devient alors un énoncé sur les sections d’une surface projective fibrée en courbes de genre au moins $2$ au-dessus d’une courbe projective. On peut alors utiliser tout l’attirail de la géométrie algébrique sur cette surface, notamment la théorie de l’intersection.

Sur les corps de nombres, la théorie des schémas de Grothendieck donne un corps à ce principe. Cependant, le spectre $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$ de $\mathbf{Z}$ est un schéma affine de dimension $1$, donc l’analogue d’une courbe algébrique affine, et n’a pas de compactification naturelle. Une telle compactification ne serait vraisemblablement pas définissable uniquement par l’algèbre. La nullité du degré du diviseur d’une fonction sur une courbe projective a pour analogue la formule du produit. Dans cette analogie, c’est ainsi aux points fermés d’une courbe affine que correspondent les idéaux maximaux de $\mathbf{Z}$, et le rôle des points à l’infini sera joué par la valeur absolue usuelle, archimédienne, de $\mathbf{Z}$, un objet de nature plus analytique, ou en tout cas topologique.

La théorie d’Arakelov ([2, 34, 38]) vise à pallier cette asymétrie en proposant une théorie de l’intersection arithmétique sur les schémas réguliers, de type fini sur $\mathbf{Z}$. Dans cette théorie, les objets algébriques (cycles, fibrés vectoriels,…) sont munis de structures supplémentaires définies par la géométrie analytique complexe (courants de Green, métriques hermitiennes,…). Cette théorie a donné lieu à de très beaux développements (par exemple, un théorème de Riemann-Roch arithmétique) et à des applications importante en géométrie diophantienne classique (hauteur de cycles [35, 18], théorèmes d’équidistribution de points de petite hauteur [51], preuve de la conjecture de Bogomolov [55, 60]).

Dans ce travail, nous avons souhaité remettre toutes les places sur le même plan, non pas en inventant une structure algébrique aux places archimédiennes, mais en tâchant de définir une structure analytique aux places ultramétriques. Ce n’est certes pas une idée originale.

La théorie d’Arakelov non archimédienne [11] est une première élaboration. Étant donnée une variété algébrique $X$ sur le corps des fractions $K$ d’un anneau de valuation discrète $R$, ces auteurs travaillent non pas avec un modèle fixé $\mathscr{X}/R$, mais avec le système projectif de tous les modèles. Pour des raisons techniques, ils doivent se restreindre aux modèles réguliers dont la fibre spéciale est un diviseur à croisements normaux stricts. Lorsque la caractéristique résiduelle de $R$ est strictement positive, cela les oblige à admettre l’existence d’une résolution des singularités plongée. Indépendamment de cette restriction (le cas où $R=\mathbf{C}((t))$ est déjà très intéressant), leur théorie reste de nature très algébrique : formes, courants sont définis comme des systèmes compatibles de cycles sur les différents modèles (pour des applications convenables fournies par la théorie de l’intersection).

Dans le cas des courbes, la thèse [54] d’A. Thuillier fournit une théorie d’Arakelov analytique à toutes les places fondée sur les espaces de Berkovich aux places ultramétriques et sur l’analyse complexe aux places archimédiennes. Dans le cas d’une courbe sur un corps ultramétrique, il y développe aussi une théorie du potentiel formellement analogue à celle qui vaut sur les surfaces de Riemann. Le cas de la droite projective a été développé indépendamment par [4, 3]. Ces considérations recoupent aussi les travaux de [50, 36, 37] en dynamique non archimédienne.

En dimension arbitraire, la théorie des mesures sur les espaces de Berkovich (due au premier auteur [22] et raffinée par [39]) fournit une troisième incarnation de cette idée. Si $X$ est propre, de dimension $n$, et si $\bar{L}$ est un fibré en droites sur $X$ muni d’une métrique admissible au sens de [59], on construit une mesure sur l’espace analytique $X^{\mathrm{an}}$ associé à $X/K$ par Berkovich que nous notons $c_{1}(\bar{L})^{n}$. En effet, cette mesure est un analogue de la mesure de même nom lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites hermitien sur une variété analytique compacte de dimension $n$. Sa masse totale est égale au degré $\deg(c_{1}(L)^{n}|X)$ de $X$ pour $L$. Elle donne aussi lieu à des théorèmes d’équidistribution des points de petite hauteur tout à fait analogues à ceux évoqués plus haut dans le cas archimédien ([22, 4, 36, 40, 58]). Voir aussi [23] pour un survol de la théorie qui met en parallèle les cas archimédien et ultramétrique. Dans [40], Gubler montre comment les idées de [55, 60] se transposent et permettent de prouver la conjecture de Bogomolov sur les corps de fonctions lorsque la variété abélienne sous-jacente est « totalement dégénérée ».

Divers mathématiciens se sont aussi intéressé à l’analogue du théorème de Yau (conjecture de Calabi) dans ce contexte. Citons un travail non publié de Kontsevich et Tschinkel (2000). Plus récemment, l’unicité d’une métrique conduisant à une mesure prescrite (théorème de Calabi) est prouvée dans [57] en adaptant la preuve de [12]. L’article [45] construit quelques solutions dans le cas de variétés abéliennes totalement dégénérées. Les articles [19, 20] prouvent l’existence de solutions dans de nombreux cas algébriques.

Dans le cas d’un fibré en droites hermitien $\bar{L}$ sur une variété complexe $X$ $c_{1}(\bar{L})$ est une forme différentielle de type $(1,1)$ et sa puissance $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est une forme de type $(n,n)$, laquelle donne lieu à une mesure si $X$ est de dimension $n$. La théorie des mesures de [22] avait ceci d’insatisfaisant qu’elle définissait une mesure $c_{1}(\bar{L})^{n}$ tout en s’avérant incapable de donner un sens à l’objet $c_{1}(\bar{L})$, lorsque $\bar{L}$ est un fibré métrisé sur une variété algébrique propre de dimension $n$ sur un corps valué complet.

Combler cette frustration est la raison d’être du présent travail.

Au passage, nous étendons la théorie en traitant des variétés analytiques ni nécessairement algébriques, ni nécessairement compactes. Le caractère local des mesures $c_{1}(\bar{L})^{n}$ (établi dans [23]) apparaîtra ainsi bien plus naturellement.

Soit donc $k$ un corps valué complet, non archimédien. Soit $X$ un espace $k$-analytique au sens de Berkovich [7, 8].

Nous appelons fonction lisse sur $X$ une fonction sur $X$ à valeurs réelles qui s’écrit localement $\varphi(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{r}}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{r}\in\mathscr{O}_{X}^{\times}$ sont des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $\varphi$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathbf{R}^{r}$ à valeurs réelles. Les fonctions lisses forment un sous-faisceau $\mathscr{A}_{X}$ du faisceau des fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles. Si $X$ est bon et paracompact, par exemple si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique, ce faisceau est fin.

Plus généralement, si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels, nous définissons une notion de forme différentielle lisse de type $(p,q)$ sur $X$, qui redonne la notion de fonction lisse pour $(p,q)=(0,0)$. Ce sont naturellement les sections de faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ qui sont nuls si $p>\dim(X)$ ou $q>\dim(X)$. La somme directe de ces faisceaux est une algèbre bigraduée commutative ; elle est munie d’opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de degrés $(1,0)$ et $(0,1)$ et de carrés nuls.

Si $\dim(X)=n$, on peut intégrer les formes de type $(n,n)$, pourvu bien entendu qu’elles soient intégrables, ce qui est par exemple le cas si leur support est compact. Si $X$ est l’analytifié d’une variété propre, l’intégrale d’une forme sur $X$ de la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est nulle.

Plus généralement, Berkovich a introduit la notion de bord $\partial(X)$ de l’espace analytique $X$ et nous définissons aussi l’intégrale d’une forme de type $(n-1,n)$ sur ce bord. Ces définitions donnent lieu à l’analogue de la formule de Stokes :

$$\int_{X}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega=\int_{\partial(X)}\omega,$$

si $\omega$ est une forme à support compact de type $(n-1,n)$ sur $X$.

Nous introduisons alors la notion de courant. Comme chez Schwartz et De Rham, ceux-ci sont définis comme les formes linéaires sur l’espace des formes différentielles lisses à support compact (et, techniquement, qui évitent le bord) qui vérifient une condition de continuité convenable. Par l’intégration des formes différentielles de type $(n,n)$ et le produit extérieur, les formes s’identifient à des courants. L’intégration sur $X$, sur un sous-espace de $X$, une mesure sur $\operatorname{Int}(X)$, donnent aussi lieu à des courants.

Si $f$ est une fonction méromorphe régulière sur $X$ (c’est-à-dire définie sur un ouvert de Zariski dense), la fonction $\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$ définit un courant. Notons $\operatorname{div}(f)$ le diviseur de $f$ (un cycle de codimension $1$ sur $X$) et $\delta_{\operatorname{div}(f)}$ le courant sur $X$ qui se déduit par linéarité des divers courants d’intégration sur les composantes de $\operatorname{div}(f)$. Nous prouvons alors l’analogue de la formule de Poincaré-Lelong.

$$\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}=\delta_{\operatorname{div}(f)}.$$

Étant donné un fibré en droites $L$ sur $X$, on définit alors naturellement la notion de métrique lisse sur $L$. Grâce à la formule de Poincaré-Lelong, un tel fibré métrisé $\bar{L}$ possède une forme de courbure $c_{1}(\bar{L})$, définie de façon analogue à la forme de courbure d’un fibré en droites hermitien sur une variété complexe.

Si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique propre de dimension $n$, on démontre alors à l’aide de la formule de Stokes que l’intégrale sur $X$ de la $(n,n)$-forme lisse $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est égal au degré d’intersection $\deg(c_{1}(L)^{n}\cap[X])$.

D’autre part, un modèle formel $(\mathfrak{X},\mathfrak{L})$ de $(X,L)$ sur $k^{\circ}$ fournit naturellement une métrique continue (qualifiée de formelle) sur $L$. Pour une telle métrique, la norme d’une section locale de $L$ est égale au maximum d’une famille finie de valeurs absolues de certaines fonctions holomorphes inversibles. Ainsi, et contrairement à l’intuition véhiculée par les articles précédents, une métrique formelle n’est pas lisse en général.

Cela fournit un point de contact entre la théorie du présent article et le mémoire [46] sur la théorie d’Arakelov des variétés toriques. Ce dernier travail étudie en détail les métriques hermitiennes naturelles sur les fibrés en droites hermitiens sur une variété torique complexe — définies précisément par des maximum de valeurs absolues de fonctions holomorphes. Un tel fibré en droite hermitien possède une courbure, laquelle n’est plus une forme différentielle mais un courant. Un outil crucial de [46] est fourni par la théorie de [5, 25] qui permet de les multiplier. (Rappelons que les courants ne sont en général pas plus multipliables que ne le sont les distributions.) Le fait essentiel est que la fonction $\max(x_{1},\dots,x_{r})$ sur $\mathbf{R}^{r}$ est limite uniforme de fonctions convexes lisses.

Nous définissons ainsi des notions de formes et courants positifs. Cela nous amène à développer les rudiments de la théorie des fonctions plurisousharmoniques — une fonction lisse $u$ est dite plurisousharmonique si $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u$ est un courant positif. En fait, les seules fonctions plurisousharmoniques que nous considérerons dans cet article sont des limites uniformes de fonctions lisses plurisousharmoniques. En copiant les arguments de [5, 25], nous pouvons définir des produits de courants $T\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{r}$, où $T$ est un courant positif et $u_{1},\dots,u_{r}$ des fonctions plurisousharmoniques comme ci-dessus.

Grâce à cette théorie, on peut multiplier les courants de courbure des fibrés en droites munis de métriques formelles. Nous prouvons alors que la théorie développée ici redonne les mesures définies dans [22]. La théorie construite dans ce dernier article partait du cas des métriques formelles, alors considérées comme métriques « lisses ». La théorie de l’intersection sur la fibre spéciale du modèle formel fournissait des mesures atomiques sur $X$  ; un argument d’approximation permettait de construire des mesures pour des fibrés en droites munis de métriques plus générales. Dans le présent article, le point de vue est renversé : les métriques formelles ne sont pas lisses, mais limites uniformes de métriques lisses convenables, et les mesures associées ne sont définies que via un passage à la limite.

La construction des faisceaux de formes différentielles repose sur un travail récent d’A. Lagerberg [43] dont le but est d’adapter les outils classiques de la théorie du pluripotentiel sur les variétés complexes à l’analyse convexe sur des espaces vectoriels réels.

Pour tout ouvert $U$ de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^{n}$, Lagerberg construit une algèbre bigraduée commutative $\mathscr{A}^{*,*}(U)$ en dédoublant le complexe de De Rham de $\mathbf{R}^{n}$ : pour tous $(p,q)\in\mathbf{N}^{2}$,

$$\mathscr{A}^{p,q}(U)=\mathscr{C}^{\infty}(U)\otimes\bigwedge^{p}(\mathbf{R}^{n})^{*}\otimes\bigwedge^{q}(\mathbf{R}^{n})^{*}.$$

En particulier, $\mathscr{A}^{0,0}(U)$ est l’algèbre des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Pour $i\in\{1,\dots,n\}$, on note $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ la $i$-ieme forme coordonnée vue respectivement dans $\mathscr{A}^{1,0}$ et $\mathscr{A}^{0,1}$. Cette algèbre possède deux dérivations, notées $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, analogues des dérivations holomorphes et antiholomorphes. Elles sont caractérisées par la formule

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}\quad\text{et}\quad\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i},$$

si $f$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Cette algèbre possède aussi une involution qui échange $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

L’opérateur $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}$ est l’analogue de l’opérateur de Monge-Ampère complexe ; il s’exprime d’ailleurs en termes de l’opérateur de Monge-Ampère réel : on a en effet

$$(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}=n!\det\left(\big(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\big)\right)\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}.$$

Les éléments de $\mathscr{A}^{p,q}(U)$ sont appelées superformes de type $(p,q)$ sur $U$ ; le préfixe super est ajouté par référence à la superanalyse de Berezin ; comme nous n’utiliserons pas cette dernière, nous nous permettrons souvent d’omettre ce préfixe.

Une $(n,n)$-forme $\omega$ sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$ s’écrit

$$\omega=\omega^{\sharp}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n},$$

où $\omega^{\sharp}$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$. Son intégrale est alors définie par la formule

$$\int_{U}\omega=\int_{U}\omega^{\sharp}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}.$$

Cela donne automatiquement naissance à une théorie des courants. Il y a aussi une notion de forme positive, de courant positif ; les fonctions convexes sont caractérisées par la positivité de leur image par l’opérateur $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, etc.

Le lien entre espaces de Berkovich et espaces réels est fourni par la « géométrie tropicale ».

Le point de vue tropical en géométrie analytique sur un corps valué $k$ (ultramétrique ou non) consiste à approcher un espace analytique $X$ par ses tropicalisations, ou amibes, images de $X$ dans $\mathbf{R}^{n}$ par des applications de la forme $x\mapsto(\log\mathopen{|}{f_{1}(x)}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{n}(x)}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{n}$ sont des fonctions analytiques inversibles sur $X$. Introduit initialement dans le cas où $k$ est le corps des nombres complexes et $X$ est une variété algébrique (voir [6, 56, 47]), ce point de vue a ensuite été développé dans le cas ultramétrique (citons notamment [10, 33, 39]).

Il est fondamental que les amibes sont alors des sous-espaces linéaires par morceaux de $\mathbf{R}^{n}$, connexes si $X$ est connexe. Ce fait, initialement démontré dans [10], a ensuite reprouvé par [39] à l’aide d’un argument de Berkovich issu de son analyse locale [9] des espaces analytiques (qui repose sur l’existence d’altérations [42]), puis dans [32] comme conséquence de l’élimination des quantificateurs pour les corps valués algébriquement clos. Voir aussi l’article [48] pour une autre incarnation du lien intime entre géométrie analytique et géométrie tropicale.

Plaçons nous pour commencer en géométrie analytique complexe. Soit $X$ une variété analytique complexe, $f_{1},\dots,f_{n}$ des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $f=(f_{1},\dots,f_{n})\colon X\rightarrow(\mathbf{C}^{*})^{n}$ l’application qui s’en déduit. Notons $f_{\text{trop}}\colon X\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ la composition de $f$ et de l’application $(\mathbf{C}^{*})^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ donnée par $(z_{1},\dots,z_{n})\mapsto(\log\mathopen{|}{u_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{u_{n}}\mathclose{|})$.

Par les formules

$$f^{*}u=u\circ f_{\text{trop}},\quad f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}=\mathrm{d}\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\quad\text{et}\quad f^{*}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}=\mathrm{d}\operatorname{Arg}(f_{i}),$$

une superforme $\omega$ de type $(p,q)$ sur $\mathbf{R}^{n}$ donne lieu à une forme différentielle réelle $f^{*}\omega$ de degré $p+q$ sur $X$. On prendra garde que $f^{*}\omega$ n’est pas forcément de type $(p,q)$ : cela se voit déjà sur $f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ qui contient une composante holomorphe et une composante antiholomorphe. En revanche, si $\omega$ est de type $(p,p)$ et symétrique, $f^{*}\omega$ est de type $(p,p)$.

Revenons maintenant au cas des espaces analytiques sur un corps ultramétrique $k$. Soit $X$ un tel espace. La définition d’une forme lisse de type $(p,q)$ est définie en considérant des tropicalisations locales $f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}$ et des superformes sur l’image $f_{\text{trop}}(X)$ dans $\mathbf{R}^{r}$, une fois adaptée la définition de Lagerberg au cas des espaces linéaires par morceaux.

En revanche, si $X$ est de dimension $n$, on voudrait définir l’intégrale d’une forme de type $(n,n)$ de la forme $f^{*}\omega$ comme la somme des intégrales à la Lagerberg sur les sous-espaces de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Cela pose deux problèmes supplémentaires :

• —

  L’intégrale définie par Lagerberg dépend du système de coordonnées canonique sur $\mathbf{R}^{n}$ et ses sous-espaces linéaires n’en disposent pas a priori ;

• —

  Si l’on pense à la formule de projection en théorie de l’intersection, ou à la formule du changement de variables dans les intégrales multiples, l’intégrale de $f^{*}\omega$ ne peut être égale à $\int\omega$ qu’à un facteur correctif près, espèce de degré de $f$.

Nous les résolvons simultanément en introduisant la notion de calibrage $\mu$ d’un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $n$ de $\mathbf{R}^{r}$. À des questions d’orientation près, il s’agit essentiellement d’une famille de $n$-vecteurs définis face par face. En contractant la superforme $\omega$ de type $(n,n)$ par ces $n$-vecteurs, on la transforme en une $n$-forme différentielle $\langle\omega,\mu\rangle$ sur l’espace linéaire par morceaux, forme qu’on intègre de façon usuelle. La théorie de Lagerberg correspond au choix du $n$-vecteur $\frac{\partial}{\partial x_{1}}\wedge\dots\frac{\partial}{\partial x_{n}}$ sur $\mathbf{R}^{n}$.

Si $X$ est compact, nous définissons alors un calibrage canonique $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Négligeant ici des problèmes de bord, le fait que, lorsque $r=n$, $f$ soit fini et plat au-dessus du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, et le degré de $f$ en ces points, intervient crucialement dans cette construction.

Signalons qu’il aurait peut-être été possible d’éviter d’introduire cette notion de calibrage en utilisant des structures $\mathbf{Z}$-linéaires sur les espaces linéaires par morceaux considérés mais nous n’avons pas développé cette approche.

Une variante de ces constructions conduit à l’intégrale sur le bord de $X$ d’une forme de type $(n-1,n)$ et la formule de Stokes se déduit de celle en géométrie différentielle. Si la définition de l’intégrale de bord considère les bords des tropicalisations, un avatar de la condition d’équilibre en géométrie tropicale permet de prouver que la terminologie est justifiée, au sens où l’intégrale sur le bord de $X$ d’une forme nulle au voisinage du bord est nulle.

Nous nous sommes efforcés de rédiger le texte dans la généralité maximale compatible avec nos compétences techniques. Ainsi, on ne se limite pas aux espaces analytiques algébriques, on ne les suppose pas lisses, ni même réduits. En fait, notre théorie est très « générique » ; par exemple, les supports des formes lisses de degré maximal ne rencontrent aucun fermé de Zariski d’intérieur vide, en particulier aucun point rigide (en dimension $>0$). Ainsi, des hypothèses de lissité, etc. n’interviendraient jamais de façon cruciale au cours des preuves.

La théorie est valable en toute caractéristique. Elle n’utilise à aucun moment la résolution des singularités (Hironaka, Temkin) ou même l’existence d’altérations (De Jong), notamment grâce à l’article [32] du second auteur qui prouve, via l’élimination des quantificateurs, le caractère linéaire par morceaux des tropicalisations. Il est aussi valable en valuation triviale.

Nous utilisons cependant des arguments de réduction, proches de ceux permis par la géométrie formelle, mais de nature plus locale et techniquement plus aisés, fournis par la théorie de Temkin [52, 53].

Bien que la rédaction du présent texte soit assez complète, nous le compléterons dans les prochains mois en rajoutant détails et exemples, parmi lesquels :

• —

  le calcul du courant $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\max(1,\mathopen{|}{f}\mathclose{|})$, l’analogue de la formule de Levine  ;

• —

  le calcul des mesures canoniques sur les variétés abéliennes, à partir de leur uniformisation  ;

• —

  lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites muni d’une métrique formelle, le calcul des puissances $c_{1}(\bar{L})^{i}$ et leur support (pour l’instant, seul figure ici le calcul de la puissance maximale)  ;

• —

  l’étude de la positivité et du support des polynômes en classes de Chern de fibrés en droites métrisés, le lien avec la posivité des fibrés résiduels en théorie de l’intersection pour l’équivalence numérique, leur détection via des germes de sous-variétés analytiques de dimension adéquate sur des extensions valuées complètes convenables ;

Nous comptons aussi discuter l’existence de métriques positives sur les fibrés amples, dont la mesure associée contienne des ensembles finis prescrits (essentiellement) arbitraires et prouver la continuité de l’intégrale de fonctions de Green contre les mesures canoniques, analogue de la « formule de Mahler », dans l’esprit de [46, 24]. Ce dernier point conduira naturellement à une théorie analytique des hauteurs de cycles en géométrie diophantienne.

Ce travail appelle un certain nombre de prolongements. Nous voudrions en citer brièvement quelques uns ici.

• —

  Développer une théorie plus complète des fonctions plurisousharmoniques, dans laquelle s’intégrerait les résultats récents de [19, 20].

• —

  Qu’est-ce qu’une forme de Kähler dans notre contexte  ? Y a-t-il un analogue du théorème de plongement de Kodaira  ?

• —

  Peut-on formuler et démontrer un analogue du théorème de Yau  ? Comme dans [57, 20], il semble que la partie unicité (théorème de Calabi) soit vraie, par la méthode de Błocki [12].

• —

  Développer une théorie sur $\mathbf{Z}$ dans le style de [49] ; comme notre théorie est d’essence ultramétrique, il faudra sans doute des arguments nouveaux pour traiter les places archimédiennes.

• —

  Ce formalisme peut-il être utilisé avec profit pour calculer des hauteurs de cycles spéciaux dans les variétés de Shimura, dans l’esprit des travaux de Gross-Zagier, Kudla, Rapoport… ;

• —

  Y a-t-il des théorèmes d’équidistribution en dynamique ultramétrique, parallèles à ceux de Briend-Duval, Guedj, Dinh-Sibony  ?

• —

  Développer une théorie d’Arakelov non archimédienne et, pour commencer, démontrer que tout cycle possède un courant de Green.

• —

  Quelle est la cohomologie de l’espace des formes et des courants ? Y a-t-il des liens avec les groupes d’homologie tropicaux des variétés tropicales (I. Itenberg, L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov).