En raisonnant G-localement on se ramène au cas où $X$ est affinoïde, d’algèbre associée $\mathscr{A}$. La suite exacte

$$0\to g.\mathscr{A}/(fg)\to\mathscr{A}(fg)\to\mathscr{A}/(g)\to 0$$

peut se récrire

$$0\to\mathscr{A}/(f)\to\mathscr{A}/fg\to\mathscr{A}/(g)\to 0$$

puisque $g$ n’est pas diviseur de zéro dans $A$. Soit $Y$ une composante irréductible commune aux lieux des zéros de $f$ et $g$. Par un calcul de longueur en un point de $Y$ dont l’anneau local est artinien, on déduit de la suite exacte ci-dessus que la multiplicité générique de $Y$ comme composante de $\{fg=0\}$ est égale à la somme de sa multiplicité générique comme composante de $\{f=0\}$ et de sa multiplicité générique comme composante de $\{g=0\}$. L’assertion requise s’ensuit aussitôt.

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