La définition de l’intégrale supposer que $X$ est paracompact et sans bord. Choisissons une famille $(V_{i})$ de domaines affinoïdes de $X$ telle que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $X$. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité lisse subordonnée au recouvrement $(\mathring{V}_{i})$.

Fixons un indice $i$. D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $U_{i}$ du support $K_{i}$ de $\lambda_{i}\omega$ dans $\mathring{V}_{i}=\operatorname{Int}(V_{i}/k)$ et un moment $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i})$ qui tropicalise $\lambda_{i}\omega_{i}$ et satisfait la condition

Démontrons alors que l’on a $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\omega=0$. Soit $\alpha$ la $(n-1,n)$-forme sur $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ telle que $\lambda_{i}\omega|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha$ ; d’après le corollaire 3.2.3, son support est $f_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$. Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ adaptée au calibrage $\mu_{f_{i}}$.

Soit alors $F$ une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$. Si $F$ est disjointe de $g_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$, l’intégrale $\int_{F}\langle\alpha,\mu_{f_{i}}\rangle$ est nulle. Sinon, $F$ rencontre $g_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$. Puisque $U_{i}\subset\operatorname{Int}(V_{i}/k)$, $\operatorname{Int}(U_{i}/V_{i})=\operatorname{Int}(U_{i})$, d’où $\partial(U_{i}/V_{i})=\partial U_{i}$.

En particulier, $f_{i,{\text{trop}}}(\partial(U_{i}/V_{i}))=f_{i,{\text{trop}}}(\partial U_{i})$, si bien que $F$ n’est pas contenue dans $f_{i,{\text{trop}}}(\partial U_{i})$. D’après le théorème 3.6.1, $F$ est harmonieuse et ne contribue donc pas à l’intégrale $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$. Cela démontre la nullité de $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$  ; Il s’ensuit que $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=0$  ; la nullité de $\int_{\partial X}\omega$ se démontre de la même manière. ∎