Soit $X$ un espace $k$-analytique séparé et soit $x\in X$. Lorsque $(X,x)$ est strict et lorsque $|k^{\times}|\neq\{1\}$, Temkin a défini dans [52], la réduction $\widetilde{(X,x)}$ de $X$  ; c’est un ouvert quasi-compact et non vide de l’espace de Zariski-Riemann $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$ de $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ sur $\tilde{k}$.

L’application $(Y,x)\mapsto\widetilde{(Y,x)}$ établit une bijection entre l’ensemble des domaines strictement analytiques de $(X,x)$ et celui des ouverts quasi-compacts et non vides de $\widetilde{(X,x)}$.

Pour traiter le cas général (germes non stricts, valeur absolue triviale), Temkin a développé dans [53] une théorie analogue à la précédente, mais plus sophistiquée, qui recourt à l’algèbre commutative graduée.

Nous n’en aurons pas besoin ici  ; plus précisément, nous n’aurons besoin que de la «partie non graduée» de la théorie de Temkin, au sujet de laquelle nous allons dire quelques mots  ; nos assertions se démontrent en décalquant mutatis mutandis les preuves de [53].

Nous ne faisons plus maintenant d’hypothèses sur le germe $(X,x)$. Nous définissons $\widetilde{(X,x)}$ exactement comme dans [53], mais en nous contentons des réductions classiques (et non graduées) des corps et algèbres affinoïdes en jeu. On obtient là encore un ouvert quasi-compact non vide de $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$, qui coïncide avec celui construit précédemment dans le cas où $\widetilde{(X,x)}$ est strict et où la valuation est non triviale. Il existe une application continue naturelle de la réduction graduée $\widetilde{(X,x)}_{\rm gr}$ vers $\widetilde{(X,x)}$.

Soit $\mathsf{U}$ un ouvert quasi-compact et non vide de $\widetilde{(X,x)}$. Son image réciproque sur $\widetilde{(X,x)}_{\rm gr}$ en est un ouvert quasi-compact et non vide, qui s’identifie dès lors à $\widetilde{(Y,x)}_{\rm gr}$, où $(Y,x)$ est un domaine analytique de $(X,x)$ qui est uniquement déterminé et satisfait l’égalité $\widetilde{(Y,x)}=\mathsf{U}$.

On dira qu’un domaine $(Y,x)$ de $(X,x)$ obtenu par ce procédé est relativement strict. L’application $(Y,x)\mapsto\widetilde{(Y,x)}$ établit une bijection entre l’ensemble des domaines relativement stricts de $(X,x)$ et celui des ouverts quasi-compacts et non vides de $\widetilde{(X,x)}$.