De même que l’intégrale d’une forme de type $(\dim(V),\dim(V))$ sur $V$ dépend d’un choix de coordonnées affines, ou plutôt, comme on l’a vu, du choix d’un vecteur-volume sur $V$, la définition de l’intégrale sur $P$ d’une forme de type $(n,n)$ à coefficients mesurables va requérir des données supplémentaires.

Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire de $P$  ; pour tout $m$, on note $\mathscr{C}_{m}$ l’ensemble des cellules de $\mathscr{C}$ qui sont de dimension $m$.

Pour toute cellule $C$ de dimension $n$, choisissons un vecteur-volume $\mu_{C}\in\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle C\rangle}}\mathclose{|}$. On note $\mu$ la famille $(\mu_{C})$ ainsi obtenue ; on dit que c’est un calibrage du polytope $P$ subordonné à la décomposition $\mathscr{C}$.

Soit $U$ un ouvert de $P$ et soit $\omega$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur $U$.

On pose

On dit que $\omega$ est $\mu$-intégrable si cette somme est finie  ; il revient au même de demander que $\omega|_{\langle C\rangle\cap U}$ soit $\mu_{C}$-intégrable pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{n}$.

Si $\omega$ est $\mu$-intégrable, on définit l’intégrale de $\omega$ sur $U$ relativement au calibrage $\mu$ par la formule

Soit $\mathscr{D}$ une décomposition cellulaire de $P$ raffinant $\mathscr{C}$. Pour tout $D\in\mathscr{D}_{n}$, il existe une unique cellule $\lambda(D)\in\mathscr{C}_{n}$ telle que $D\subset\lambda(D)$ ; les sous-espace affine engendré par $D$ est alors égal à $\langle\lambda(D)\rangle$. On définit un calibrage $(\nu_{D})$ de $P$ subordonné à la décomposition $\mathscr{D}$ on posant $\nu_{D}=\mu_{\lambda(D)}$ pour tout $D\in\mathscr{D}_{n}$. On dira qu’il raffine le calibrage $\mu$.

Soit $\omega$ une $(n,n)$-forme mesurable sur un ouvert $U$ de $P$. On a alors $\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\nu}\mathclose{|}\rangle=\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$. Par conséquent, $\omega$ est $\mu$-intégrable si et seulement si elle est $\nu$-intégrable, et si c’est le cas on a $\int_{U}\langle\omega,\nu\rangle=\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle$

Soit $F\in\mathscr{C}_{n-1}$ et soit $\mathscr{C}_{>F}$ l’ensemble des $C\in\mathscr{C}_{n}$ dont $F$ est une face.

Fixons une orientation $o$ sur le sous-espace affine $\langle F\rangle$. Pour tout $C\in\mathscr{C}_{>F}$, munissons l’espace affine $\langle C\rangle$ de l’orientation $o_{C}$ donnée par $o$ et la normale sortante. Pour tout $C\in\mathscr{C}_{>F}$, notons $\tilde{\mu}_{C}$ le $n$-vecteur tel que le vecteur-volume $\mu_{C}$ soit la classe du couple $(o,\tilde{\mu}_{C})$. Le $n$-vecteur $\tilde{\mu}_{C}$ appartient à $\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle C\rangle}$, et peut être vu comme appartenant à $\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$.

Notons $\tilde{\mu}_{F}$ la somme dans $\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ des vecteurs $\tilde{\mu}_{C}$ pour $C$ parcourant $\mathscr{C}_{>F}$ ; la classe $\mu_{F}$ du couple $(o,\tilde{\mu}_{F})$ dans le produit contracté $\operatorname{Or}(F)\times_{\{\pm 1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ ne dépend pas du choix de l’orientation $o$. On dit que c’est la discordance du calibrage $\mu$ le long de la face $F$  ; on dit que la face $F$ est harmonieuse si cette discordance est nulle.

Soit $\omega$ une $(n-1,n)$-forme mesurable sur un ouvert $U$ de $P$, et soit $x\in F\cap U$. La forme $\omega$ est définie au voisinage de $x$ par un germe $\eta$ de $(n-1,n)$-forme à coefficients mesurables.

L’élément $\langle\eta,\tilde{\mu}_{F}\rangle|_{F}$ de $(\mathscr{F}_{F}\otimes_{\mathscr{A}_{F}}\Omega^{n-1}_{F})_{x}$ est alors bien défini. En effet, pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{F}$, le germe $\langle\eta,\tilde{\mu}_{C}\rangle|_{F}$ est égal à la restriction à $F$ de $\langle\eta|_{C},\tilde{\mu}_{C}\rangle$, lequel est uniquement déterminé, par la définition-même du faisceau des formes sur un polytope.

La forme $\omega$ donne ainsi naissance sans ambiguïté à une $(n-1)$-forme différentielle (classique) à coefficients mesurables sur $U\cap F$, que l’on notera $\langle\omega,\tilde{\mu}_{F}\rangle$.

La masse totale de la mesure sur $U\cap F$ déduite de $\langle\omega,\tilde{\mu}_{F}\rangle$ ne dépend que de $\mu_{F}$ et sera notée $\int_{F\cap U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{F}}\mathclose{|}\rangle$. Si cette masse est finie, l’intégrale de $\langle\omega,\tilde{\mu}_{F}\rangle$ sur $U\cap F$ ne dépend que de $\mu_{F}$ et sera notée $\int_{F\cap U}\langle\omega,\mu_{F}\rangle$.

On pose alors

On dit que $\omega$ est $\partial\mu$-intégrable si cette somme est finie, et si c’est le cas l’on pose

Si $\omega$ est $\partial\mu$-intégrable, il résulte de nos constructions que l’on peut également écrire

où la notation $\partial\mu_{C}^{+}$ est celle de 1.3.7, relative au demi-espace de $\langle C\rangle$ bordé par $\langle F\rangle$ et contenant $C$.

On prendra garde qu’en général, $\partial_{\mathscr{C}}P$ contient strictement le bord de $P$. Dans ce cas, $\int_{\partial\mathscr{C}}\langle\omega,\partial\mu\rangle$ fait intervenir des $(n-1)$-faces qui sont intérieures à $P$. En revanche, seules interviennent les faces qui ne sont pas harmonieuses.

Soit $\mathscr{D}$ une décomposition cellulaire de $P$ raffinant $\mathscr{C}$, et soit $\nu$ le raffinement correspondant de $\mu$. Soit $\omega$ une$(n-1,n)$-forme intégrable sur $P$. On a alors $\int_{\partial_{\mathscr{D}}P}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\nu}\mathclose{|}\rangle=\int_{\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\mu}\mathclose{|}\rangle$, et $\int_{\partial_{\mathscr{D}}P}\langle\omega,\partial\nu\rangle=\int_{\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\omega,\partial\mu\rangle$ dans le cas intégrable.

En effet, soit $F$ une cellule appartenant à $\mathscr{D}_{n-1}$ qui n’est pas contenue dans une cellule appartenant à $\mathscr{C}_{n-1}$. Elle est alors contenue dans exactement deux $n$-cellules cellules $D$ et $D^{\prime}$ de $\mathscr{D}$, elles-mêmes contenues dans une même $n$-cellule $C$ de $\mathscr{C}$. Si $(o,v)$ désigne un représentant de $\mu_{C}$ alors comme $D$ et $D^{\prime}$ induisent deux orientations opposées sur $F$, la discordance $\nu_{F}$ est de la forme $(o^{\prime},v-v)=(o^{\prime},0)$, et $F$ est harmonieuse.

Seules interviennent donc effectivement dans le calcul des intégrales le long de $\partial_{\mathscr{D}}P$ les $(n-1)$-cellules de $\mathscr{D}$ contenues dans une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$, d’où l’assertion, compte-tenu du fait (qui résulte immédiatement des définitions) que sur une telle cellule, la discordance de la restriction coïncide avec la restriction de la discordance.

Comme ils définissent aussi la même intégrale, nous identifierons implicitement, dans la suite, deux calibrages qui ont un raffinement commun.

Ainsi, un calibrage $\mu$ ne sera plus subordonné à une décomposition polytopale $\mathscr{C}$ donnée. Aussi écrirons-nous $\int_{P}\langle\omega,\partial\mu\rangle$ au lieu de $\int_{\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\omega,\mu\rangle$. Nous nous contenterons de voir ceci comme une convention d’écriture ; au vu de (1.5.4.1), on pourrait lui donner un sens plus précis en définissant le « bord » $\partial\mu$ de $\mu$ comme la donnée à raffinement près des différentes discordances.

Soit $u\colon V\rightarrow W$ une application affine, soit $P$ un polytope de $V$ de dimension $\leq n$, et soit $Q$ son image dans $W$. Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire de $P$, assez fine pour que son image $\mathscr{D}$ par $u$ soit une décomposition cellulaire de $Q$. Soit $\mu$ un calibrage de $P$ subordonné à la décomposition $\mathscr{C}$. On définit comme suit un calibrage $u_{*}\mu$ de $Q$ subordonné à la décomposition $\mathscr{D}$. Soit $D\in\mathscr{D}_{n}$. Soit $\mathscr{C}_{D}$ l’ensemble des $n$-cellules de $\mathscr{C}$ qui s’envoient sur $D$  ; l’application $u$ induit pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$ un homéomorphisme $C\simeq D$ et une bijection affine $\langle C\rangle\simeq\langle D\rangle$.

Fixons une orientation $o$ de $\overrightarrow{\langle D\rangle.}$ Elle induit une orientation $o_{C}$ de $\overrightarrow{\langle C\rangle}$ pour toute cellule $C\in\mathscr{D}$.

Pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$, il existe un unique $v_{C}\in\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle C\rangle}$ tel que $\mu_{C}$ soit égal à la classe de $(o_{C},v_{C})$  ; soit $w_{C}$ son image dans $\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle D\rangle}$. Le couple $(o,\sum_{C\in\mathscr{C}_{D}}w_{C})$ définit un vecteur-volume $\nu_{D}$ sur l’espace $\overrightarrow{\langle D\rangle}$.

On pose $u_{*}\mu=(\nu_{D})_{D\in\mathscr{D}_{n}}$.

Soit $\omega$ une forme à coefficients mesurables de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$) sur un ouvert $U$ de $Q$. La forme $u^{*}\omega$ est intégrable si et seulement si $\omega$ est intégrable : cela provient du fait que si $C$ est une cellule de dimension $n$ (resp. $n-1$) contenue dans $P$ (on ne demande pas que $C\in\mathscr{C}$) et si $u_{|C}$ n’est pas injective, la restriction de $u^{*}\omega$ à $\langle C\rangle\cap U$ est nulle, parce qu’elle provient d’un espace affine de dimension $<n$ (resp. $<n-1$).

Lorsque $\omega$ est intégrable, on a les égalités