Soit $\omega$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$, donnée en coordonnées par la formule

$$\omega=\omega^{\sharp}(x_{1},\dots,x_{n})\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n},$$

où $\omega^{\sharp}$ est donc une fonction mesurable sur $U$. Si $\omega^{\sharp}$ est intégrable sur $U$, Lagerberg a défini l’intégrale de $\omega$ par la formule

$$\int_{U}\omega=\int_{U}\omega^{\sharp}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n},$$

(1.3.1.1)

où $\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}$ désigne la mesure de Lebesgue.