La construction des faisceaux de formes différentielles repose sur un travail récent d’A. Lagerberg [43] dont le but est d’adapter les outils classiques de la théorie du pluripotentiel sur les variétés complexes à l’analyse convexe sur des espaces vectoriels réels.

Pour tout ouvert $U$ de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^{n}$, Lagerberg construit une algèbre bigraduée commutative $\mathscr{A}^{*,*}(U)$ en dédoublant le complexe de De Rham de $\mathbf{R}^{n}$ : pour tous $(p,q)\in\mathbf{N}^{2}$,

$$\mathscr{A}^{p,q}(U)=\mathscr{C}^{\infty}(U)\otimes\bigwedge^{p}(\mathbf{R}^{n})^{*}\otimes\bigwedge^{q}(\mathbf{R}^{n})^{*}.$$

En particulier, $\mathscr{A}^{0,0}(U)$ est l’algèbre des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Pour $i\in\{1,\dots,n\}$, on note $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ la $i$-ieme forme coordonnée vue respectivement dans $\mathscr{A}^{1,0}$ et $\mathscr{A}^{0,1}$. Cette algèbre possède deux dérivations, notées $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, analogues des dérivations holomorphes et antiholomorphes. Elles sont caractérisées par la formule

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}\quad\text{et}\quad\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i},$$

si $f$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Cette algèbre possède aussi une involution qui échange $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

L’opérateur $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}$ est l’analogue de l’opérateur de Monge-Ampère complexe ; il s’exprime d’ailleurs en termes de l’opérateur de Monge-Ampère réel : on a en effet

$$(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}=n!\det\left(\big(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\big)\right)\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}.$$

Les éléments de $\mathscr{A}^{p,q}(U)$ sont appelées superformes de type $(p,q)$ sur $U$ ; le préfixe super est ajouté par référence à la superanalyse de Berezin ; comme nous n’utiliserons pas cette dernière, nous nous permettrons souvent d’omettre ce préfixe.

Une $(n,n)$-forme $\omega$ sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$ s’écrit

$$\omega=\omega^{\sharp}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n},$$

où $\omega^{\sharp}$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$. Son intégrale est alors définie par la formule

$$\int_{U}\omega=\int_{U}\omega^{\sharp}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}.$$

Cela donne automatiquement naissance à une théorie des courants. Il y a aussi une notion de forme positive, de courant positif ; les fonctions convexes sont caractérisées par la positivité de leur image par l’opérateur $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, etc.