La preuve est par récurrence sur $p$. Soit $U$ un voisinage du support de $\alpha$ qui est contenu dans $\operatorname{Int}(X)\cap\mathring{V}$.

Définissons une suite $(\alpha_{0},\dots,\alpha_{p})$ de formes fortement positives à support contenu dans $U$ de la façon suivante. Considérons des formes $\beta_{0}$ et $\beta^{\prime}_{0}$, fortement positives et à support contenu dans $U$ telles que $\alpha=\beta_{0}-\beta^{\prime}_{0}$ ; posons $\alpha_{0}=\beta_{0}+\beta^{\prime}_{0}$. Soit $j\in\{1,\dots,p\}$ tel que $\alpha_{j-1}$ est construite. Considérons des formes $\beta_{j}$ et $\beta^{\prime}_{j}$, fortement positives, à support compact contenu dans $U$, telles que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha_{j-1}=\beta_{j}-\beta^{\prime}_{j}$ et posons $\alpha_{j}=\beta_{j}+\beta^{\prime}_{j}$.

On commence par écrire

$$\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha\\ =\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta_{0}-\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta^{\prime}_{0}.$$

Le produit des formes fortement positives $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1},\dots,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p},\beta_{0}$ est une forme positive et son support est contenu dans $U$. Par suite, le premier terme est majoré par

$$\sup_{U}(u^{0})\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta_{0}.$$

Un raisonnement analogue avec l’autre terme, ainsi qu’avec $-u^{0}$, fournit la majoration

$$\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{U}\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta_{0}.$$

Appliquons alors le lemme précédent ; on obtient

$$\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{U}\int_{X}u^{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha.$$

Par récurrence, il vient

$$\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{U}\mathopen{\|}{u^{1}}\mathclose{\|}_{V}\dots\mathopen{\|}{u^{p}}\mathclose{\|}_{V}\int_{X}\alpha_{p},$$

d’où la proposition puisque $U\subset V$. ∎