On suppose toujours que $n$ est la dimension de $V$. Soit $V_{+}$ un demi-espace fermé de $V$ ; c’est un sous-espace linéaire par morceaux de $V$ dont le bord $\partial V_{+}$ est un hyperplan affine. Si $\ell$ est une forme affine telle que $V_{+}=\{\ell\geq 0\}$, on dit qu’un vecteur $v\in\overrightarrow{V}$ est sortant de $V_{+}$ si $\ell(v)\leq 0$, l’adverbe strictement signifiant que l’inégalité précédente est stricte.

Tout vecteur-volume $\mu$ sur $V$ induit canoniquement un élément $\partial\mu_{+}$ de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{\partial V_{+}})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ défini comme suit. On choisit une orientation $o$ de $\overrightarrow{\partial V_{+}}$, une base directe $(e_{2},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{\partial V_{+}}$, un vecteur $e_{1}$ strictement sortant de $V_{+}$, et l’on note $o^{\prime}$ l’orientation de $V$ pour laquelle la base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ est directe. Il existe alors un unique $\lambda\in\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ tel que $(o^{\prime},\lambda)$ soit égal à $\mu$ dans $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}$. Le couple $(o,\lambda)$ définit un élément $\partial\mu_{+}$ de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{\partial V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ qui est indépendant des choix faits.

D’après les paragraphes 1.3.3 et 1.3.4, on peut alors définir : l’intégrale $\int_{U\cap\partial V_{+}}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\mu_{+}}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n-1,n)$ sur $U$  ; la notion de $\partial\mu_{+}$-intégrabilité d’une telle forme sur $\partial V_{+}$  ; et, pour une forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\partial\mu_{+}$-intégrable sur $\partial V_{+}$, l’intégrale $\int_{U\cap\partial V_{+}}\langle\omega,\partial\mu_{+}\rangle$.

Concrètement, choisissons $(e_{1},\dots,e_{n})$ comme ci-dessus. Cette base étant vue comme directe, le vecteur volume $\mu$ est donné par un $n$-vecteur $ae_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Choisissons aussi une origine sur $\partial V_{+}$ ; dans les coordonnées correspondantes, on peut écrire

On a alors

La forme $\omega$ est $\partial\mu_{+}$-intégrable sur $W$ si et seulement si $a\omega_{1}(0,*,\ldots,*)$ est $L^{1}$ (ce qui ne dépend pas de $a$, sauf si celui-ci est nul, auquel cas toute forme mesurable est $\partial\mu_{+}$-intégrable). Si c’est le cas,