Dans ce texte, la notion d’espace $k$-analytique sera à prendre au sens de Berkovich, et plus précisément de [8]  ; notons que les espaces définis dans [7] sont ceux qui sont qualifiés de bons dans [8], c’est-à-dire ceux dont tout point admet un voisinage affinoïde, et donc une base de voisinages affinoïdes.

Soit $X$ un espace $k$-analytique.

Pour tout $x\in X$, on note ${\mathscr{H}}(x)$ le corps résiduel complété de $x$. On note $\mathscr{O}_{X,x}$ l’anneau local de $X$ en $x$  ; lorsque $X$ est bon, il est noethérien ([8], th. 2.1.4), hensélien ([8], th. 2.1.5) et excellent ([29], th. 2.13).

On pose $d_{k}(x)=\text{deg. tr.}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k})+\dim_{\mathbf{Q}}\left(\mathbf{Q}\otimes_{\mathbf{Z}}(|{\mathscr{H}}(x)^{\times}|/|k^{\times}|)\right).$

On a l’égalité $\dim X=\sup_{x\in X}d_{k}(x)$ (cf. [28], 1.14).

Soit $(X,x)$ un germe d’espace $k$-analytique. La dimension centrale $\dim_{\rm cent}(X,x)$ de $(X,x)$ est le minimum, pour $V$ voisinage analytique de $x$ dans $X$, de la dimension de l’adhérence de Zariski de $x$ dans $V$. Elle est majorée par $d_{k}(x)$ en vertu de ce qui précède.

Lorsque $(X,x)$ est bon, on a d’après le corollaire 1.12 de [30] l’égalité

$$\dim_{\rm cent}(X,x)+\dim_{\rm Krull}\mathscr{O}_{X,x}=\dim_{x}X.$$

Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme d’espaces $k$-analytiques qui est topologiquement propre, et soit $x$ un point de $X$ dont la fibre est de dimension nulle et ne rencontre pas $\partial f$. La fibre $f^{-1}(x)$ étant compacte et de dimension nulle, elle est ensemblistement finie. Soit $y\in f^{-1}(x)$. Comme $f$ est de dimension nulle et sans bord en $y$, elle est finie en $x$ ([8], cor. 3.1.10). Il existe donc un voisinage analytique compact $W_{y}$ de $y$ dans $Y$ et un voisinage analytique compact $V_{y}$ de $x$ dans $X$ tels que $f$ induise un morphisme fini $W_{y}\to V_{y}$  ; quitte à restreindre $V_{y}$, on peut supposer qu’il ne rencontre pas les antécédents de $x$ autres que $y$. Posons $W=\bigcap_{y\in f^{-1}(x)}W_{y}$. Par construction, $W$ est un voisinage analytique compact de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(W)\to W$ soit fini.

Rappelons ([21], chap. 1, §9, n^o 10, définition 6, p. 69) qu’un espace topologique $X$ est dit paracompact s’il est séparé et si tout recouvrement ouvert possède un raffinement qui est localement fini. Un espace compact est paracompact. Une partie fermée d’un espace paracompact est paracompacte.

Un espace localement compact est dit dénombrable à l’infini s’il est réunion dénombrable d’ensembles compacts ; un espace localement compact dénombrable à l’infini est paracompact. Plus généralement, un espace topologique localement compact est paracompact si et seulement si c’est l’espace somme d’une famille d’espaces localement compacts dénombrables à l’infini (loc. cit., théorème 5, p. 70).

Soit $X$ un espace topologique et soit $F$ une partie fermée de $X$. Nous dirons que $F$ est fortement paracompacte dans $X$ si elle possède un voisinage ouvert et paracompact dans $X$. Si $X$ est paracompact, toute partie fermée est évidemment fortement paracompacte.

Toute partie fermée d’un espace topologique $X$ qui est fortement paracompacte dans $X$ est paracompacte. Dans l’autre sens, notons le lemme suivant.