Berkovich démontre dans [8], Théorème 1.6.1, que sous ces hypothèses, $X$ correspond à un espace rigide $X_{0}$ quasi-séparé possédant un recouvrement affinoïde de type fini (au sens où chaque ouvert du recouvrement ne rencontre qu’un nombre fini d’entre eux). D’après le théorème 2.8/3 de [15] (qui étend du cas quasi-compact au cas paracompact le théorème fondamental de Raynaud, théorème 4.1 de [16] ; voir aussi [44]), $X$ est la fibre générique d’un schéma formel admissible quasi-paracompact $\mathfrak{X}$.

Soit alors $E$ un fibré vectoriel sur $X$. D’après [8] (bas de la p. 37), il est associé à un fibré vectoriel $E_{0}$ sur l’espace rigide $X_{0}$. De plus, $E_{0}$ est la fibre générique d’un faisceau cohérent $\mathfrak{E}$ sur $\mathfrak{X}$. Apparemment, la preuve ne se trouve dans la littérature (proposition 5.6 de [16], par exemple) que sous l’hypothèse que $X$ est compact. Cependant, si nous partons d’un recouvrement de type fini de $X_{0}$ par des affinoïdes, la procédure décrite dans le lemme 5.7 de [16] ne modifiera le modèle formel au voisinage d’un point donné de $\mathfrak{X}$ qu’en un nombre fini d’étapes, si bien que le résultat s’étend, de même que notre fibré vectoriel. Appliquant alors le théorème de platification ([17], théorème 4.1), il existe un éclatement formel $\pi\colon\mathfrak{X}^{\prime}\rightarrow\mathfrak{X}$ tel que le transformé strict $\mathfrak{E}^{\prime}$ de $\mathfrak{E}$ soit localement libre sur $\mathfrak{X}^{\prime}$. ∎