Soit $S$ un courant positif de bidegré $(0,0)$. Pour toute fonction lisse $f$, à support compact dans $\operatorname{Int}(X)$, on a donc $\langle S,f\rangle\geq 0$.

Soit $K$ une partie compacte de $\operatorname{Int}(X)$, soit $U$ un voisinage de $K$ dans $\operatorname{Int}(X)$. Soit $\lambda_{K}\colon X\rightarrow[0,1]$ une fonction lisse que vaut $1$ au voisinage de $K$ et dont le support est compact et contenu dans $\operatorname{Int}(X)$. Si $f$ est une fonction lisse de support contenu dans $K$, on a $f(x)=f\lambda_{K}(x)\leq\mathopen{\|}{f}\mathclose{\|}_{K}\lambda_{K}(x)$ pour tout $x\in K$ ; cette inégalité vaut aussi pour $x\notin K$ puisqu’alors $f(x)=0$ et $\lambda_{K}(x)\geq 0$. Par suite,

Appliquant cette inégalité à $-f$, on en déduit qu’il existe un nombre réel $C_{K}$ tel que

pour toute fonction lisse dont le support est contenu dans $K$.

Considérons un voisinage relativement compact $V$ de $K$ qui est contenu dans $U$. Toute fonction continue $f$ à support dans $K$ est limite uniforme d’une suite $(f_{j})$ fonctions lisses à support dans $V$ ; si $f$ est positive, on peut aussi supposer que pour tout $j$, $f_{j}$ est positive. L’inégalité précédente, appliquée au compact $\bar{V}$, entraîne que la suite $(\langle S,f_{j}\rangle)$ est de Cauchy, et que sa limite est indépendante du choix de la suite $(f_{j})$ choisie ; elle est aussi indépendante du choix d’un compact $K$ et d’un voisinage relativement compact $V$ tels que $\operatorname{supp}(f)\subset K\subset V\subset\operatorname{Int}(X)$. Notons $\mu(f)$ cette limite. Si $f$ est lisse, on a $\mu(f)=\langle S,f\rangle$. Si $f$ est positive, $\langle S,f_{j}\rangle\geq 0$ pour tout $j$, donc $\mu(f)\geq 0$. En outre, l’application $f\mapsto\mu(f)$ est linéaire. C’est donc une mesure positive sur $\operatorname{Int}(X)$ telle que $S=[\mu]$.

Enfin, si $S=[\mu]=[\nu]$, les mesures $\mu$ et $\nu$ coïncident sur les fonctions lisses. Par l’argument de densité ci-dessus, elles sont égales. ∎

Soit $\omega$ une forme lisse à support propre sur $X$, choisissons des formes lisses, fortement positives $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sur $X$ telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$ (lemme 5.3.3). Soit aussi $U$ un voisinage relativement compact de $\operatorname{supp}(\omega)$ et $\lambda$ une fonction lisse sur $X$, à support dans $U$, qui vaut $1$ au voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$ et à valeurs positives ou nulles. On a donc $\omega=\lambda\omega=\lambda\omega_{1}-\lambda\omega_{2}$ ; cela permet de supposer que $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sont à support dans $U$.

Les applications $u\mapsto\langle T,u\omega_{1}\rangle$ et $u\mapsto\langle T,u\omega_{2}\rangle$ sont des courants positifs de degré $0$ à support dans $U$, donc définissent des mesures positives sur $X$, dont le support est contenu dans $U$ (proposition 5.4.6). Leur différence est une mesure sur $X$ à support contenu dans $U$. Comme le support de $\omega$ est propre et contenu dans $U$, cette mesure s’étend par continuité en une application linéaire continue sur l’espace des fonctions continues sur $X$ muni de la topologie de la semi-norme de la convergence uniforme sur $U$. Cela définit $\langle uT,\omega\rangle$ pour toute fonction continue $u$ sur $X$ et toute forme à support propre $\omega$ sur $X$. Si $u$ et $\omega$ sont positives, on a bien $\langle uT,\omega\rangle\geq 0$, comme affirmé dans l’énoncé.

Lorsque $u$ est positive, l’application $\omega\mapsto\langle uT,\omega\rangle$ est linéaire et est positive en toute forme faiblement positive. D’après le lemme 5.4.4, c’est alors un courant positif. Le cas d’une fonction continue $u$ arbitraire en résulte. ∎