Ce travail appelle un certain nombre de prolongements. Nous voudrions en citer brièvement quelques uns ici.

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  Développer une théorie plus complète des fonctions plurisousharmoniques, dans laquelle s’intégrerait les résultats récents de [19, 20].

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  Qu’est-ce qu’une forme de Kähler dans notre contexte  ? Y a-t-il un analogue du théorème de plongement de Kodaira  ?

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  Peut-on formuler et démontrer un analogue du théorème de Yau  ? Comme dans [57, 20], il semble que la partie unicité (théorème de Calabi) soit vraie, par la méthode de Błocki [12].

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  Développer une théorie sur $\mathbf{Z}$ dans le style de [49] ; comme notre théorie est d’essence ultramétrique, il faudra sans doute des arguments nouveaux pour traiter les places archimédiennes.

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  Ce formalisme peut-il être utilisé avec profit pour calculer des hauteurs de cycles spéciaux dans les variétés de Shimura, dans l’esprit des travaux de Gross-Zagier, Kudla, Rapoport… ;

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  Y a-t-il des théorèmes d’équidistribution en dynamique ultramétrique, parallèles à ceux de Briend-Duval, Guedj, Dinh-Sibony  ?

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  Développer une théorie d’Arakelov non archimédienne et, pour commencer, démontrer que tout cycle possède un courant de Green.

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  Quelle est la cohomologie de l’espace des formes et des courants ? Y a-t-il des liens avec les groupes d’homologie tropicaux des variétés tropicales (I. Itenberg, L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov).