Soit $X$ un espace $k$-analytique $X$ et soit $x\in X$. On notera $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}$ le sous-anneau de $\mathscr{O}_{X,x}$ formé des fonctions $f$ telles que $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\leq 1$  ; on dispose d’une flèche naturelle $f\mapsto\widetilde{f(x)}$ de $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}$ vers $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$. Si l’image de $\mathscr{O}_{X,x}$ dans ${\mathscr{H}}(x)$ est dense, ce qui est par exemple le cas si $(X,x)$ est bon, ou plus généralement s’il s’identifie à un domaine analytique d’un bon germe, alors $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}\to\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ est surjective.

Soit $n\in\mathbf{N}$. On dispose d’une flèche naturelle $g\mapsto\widetilde{g(x)}$ de $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ dans $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$, qui est là encore surjective si l’image de $\mathscr{O}_{X,x}$ dans ${\mathscr{H}}(x)$ est dense.

Soit $(Y,x)$ un domaine analytique relativement strict de $(X,x)$ et soit $f$ (resp. $g$) appartenant à $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}$ (resp. $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$). Il résulte de la remarque 6.5.2 que les assertions suivantes sont équivalentes :

1. i)

   La restriction de $f$ (resp. $g$) à $(Y,x)$ appartient à $O_{X}^{\circ}(Y,x)$ (resp. $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(Y,x)$)  ;

2. ii)

   L’élément $\widetilde{f(x)}$ (resp. $\widetilde{g(x)}$) de $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ (resp. de $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$) appartient à $\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}(\widetilde{Y,x)}$ (resp. à $\operatorname{GL}_{n}\widetilde{(Y,x)}$).