3.12 Formules de Stokes et de Green [01R8]

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3.12 Formules de Stokes et de Green

\theoname 3.12.1.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique de dimension $n$ . Soit $\omega$ une $(n-1,n)$ -forme sur $X$ . On suppose que $\omega$ est intégrable sur $\partial X$ et que $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est intégrable sur $X$ . Alors,

\int_{\partial X}\omega=\int_{X}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega.

\theoname 3.12.2.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique de dimension $n$ . Soit $p$ et $q$ des entiers tels que $p+q=n-1$ . Soit $\alpha$ une $(p,p)$ -forme sur $X$ , soit $\beta$ une $(q,q)$ -forme sur $X$ . Supposons que l’intersection des supports de $\alpha$ et $\beta$ est compact. Alors,

\int_{X}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta=\int_{\partial X}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta.

Démonstration.

À l’aide d’une partition de l’unité et en revenant à la définition des intégrales, ces formules se déduisent des formules analogues pour les polytopes calibrés. L’hypothèse que le support de $\omega$ est compact, ou que l’intersection des supports de $\alpha$ et $\beta$ l’est, rend toutes les familles d’intégrales presque nulles, de sorte que les questions de sommabilité deviennent triviales. ∎