Soit $K$ un corps et soit $F$ une extension de type fini de $K$.

On notera $\mathbf{P}_{F/K}$ l’ensemble des valuations de $F$ triviales sur $K$ (à équivalence près). Si $f_{1},\ldots,f_{n}$ sont des éléments de $F$, le sous-ensemble de $\mathbf{P}_{F/K}$ formé des valuations dont l’anneau contient les $f_{i}$ sera noté $\mathbf{P}_{F/K}\{f_{1},\ldots,f_{i}\}$. On munit $\mathbf{P}_{F/K}$ de la topologie engendrée par ses sous-ensembles de la forme $\mathbf{P}_{F/K}\{f_{1},\ldots,f_{i}\}$  ; les ouverts de $\mathbf{P}_{F/K}$ qui sont précisément de cette forme seront qualifiés d’affines (remarquons que $\mathbf{P}_{F/K}$ lui-même est égal à $\mathbf{P}_{F/K}\{\emptyset\}$ et est donc affine)  ; tout ouvert affine de $\mathbf{P}_{F/K}$ est quasi-compact. On dit que $\mathbf{P}_{F/K}$ est l’espace de Zariski-Riemann de l’extension $F/K$.

Un prémodèle (resp. un modèle) de $F$ sur $K$ est une $K$-variété irréductible $V$ munie d’un $K$-plongement $K(V)\hookrightarrow F$ (resp. d’un $K$-isomorphisme $K(V)\simeq F$)  ; sauf mention expresse du contraire, un morphisme dominant entre prémodèles sera toujours supposé compatible avec les plongements de leurs corps des fonctions dans $F$. Il y a modulo cette convention au plus un morphisme dominant entre deux prémodèles de $F/K$. Si $W$ et $V$ sont deux prémodèles de $F$ sur $K$, on dira que $W$ est propre sur $V$ pour signifier qu’il existe un morphisme dominant $W\to V$ et que celui-ci est propre.

Si $V$ est un prémodèle de $F$ sur $K$, on note $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$ le sous-ensemble de $\mathbf{P}_{F/K}$ formé des valuations dont l’anneau domine un anneau local de $V$. C’est un ouvert quasi-compact de $\mathbf{P}_{F/K}$ : pour s’en assurer, on peut supposer que $V$ est affine, auquel cas $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}=\mathbf{P}_{F/K}\{f_{1},\ldots,f_{r}\}$ pour n’importe quelle famille génératrice $(f_{1},\ldots,f_{n})$ de la $K$-algèbre $\mathscr{O}_{V}(V)$. L’application naturelle $\mathbf{P}_{F/K}\to V$ est surjective (tout anneau local de corps des fractions contenu dans $F$ est dominé par un anneau de valuation de $F$).

Si $W$ et $V$ sont deux prémodèles de $F$ sur $K$ et si $W\to V$ est un morphisme dominant, alors $\mathbf{P}_{F/K}\{W\}\subset\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$  ; en vertu du critère valuatif de propreté, $\mathbf{P}_{F/K}\{W\}$ est égal à $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$ si et seulement si $W\to V$ est propre  ; en particulier (prendre $V=\operatorname{Spec}K$) on a $\mathbf{P}_{F/K}\{W\}=\mathbf{P}_{F/K}$ si et seulement si $W$ est propre.

On fait de $\mathbf{P}_{F/K}$ un espace annelé en le munissant du faisceau $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}}$ qui envoie tout ouvert $U$ sur le sous-anneau de $F$ formé des fonctions $f$ telles que $v(f)\geq 0$ pour toute valuation $v\in U$. Il résulte immédiatement des définitions que si $v\in\mathbf{P}_{F/K}$ alors $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K},v}$ coïncide avec l’anneau de $v$  ; par conséquent, $\mathbf{P}_{F/K}$ est un espace localement annelé.

Si $V$ est un prémodèle de $F$ sur $K$ alors $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}\to V$ est un morphisme d’espaces annelés.

On définit un fibré vectoriel sur $\mathbf{P}_{F/K}$ (ou sur l’un de ses ouverts) comme un $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}}$-module localement libre de type fini ; son rang est une fonction constante, appelé le rang du fibré vectoriel. Un fibré en droites est un fibré vectoriel de rang $1$.

Un fibré vectoriel de rang constant $d$ admet une description en termes de $1$-cocycle à valeurs dans $\operatorname{GL}_{d}(\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}})$  ; un $1$-cocycle sur $\mathbf{P}_{F/K}$ à valeurs dans $\operatorname{GL}_{d}(\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}})$ définit le fibré trivial si et seulement si c’est un cobord.

Si $\mathsf{U}$ est un ouvert de $\mathbf{P}_{F/K}$, on note $\operatorname{Fib}(\mathsf{U})$ (resp. $\operatorname{Fib}_{d}(\mathsf{U})$, $\operatorname{Pic}(\mathsf{U})$) l’ensemble des classes d’isomorphie de fibrés vectoriels sur $\mathsf{U}$ (resp. de fibrés vectoriels de rang $d$, de fibrés en droites). Le produit tensoriel munit l’ensemble $\operatorname{Pic}(\mathsf{U})$ d’une structure de groupe abélien, décrite par le produit des cocycles.