Soit $\omega$ une $(n-1,n)$-forme mesurable sur un ouvert $U$ de $P$, et soit $x\in F\cap U$. La forme $\omega$ est définie au voisinage de $x$ par un germe $\eta$ de $(n-1,n)$-forme à coefficients mesurables.

L’élément $\langle\eta,\tilde{\mu}_{F}\rangle|_{F}$ de $(\mathscr{F}_{F}\otimes_{\mathscr{A}_{F}}\Omega^{n-1}_{F})_{x}$ est alors bien défini. En effet, pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{F}$, le germe $\langle\eta,\tilde{\mu}_{C}\rangle|_{F}$ est égal à la restriction à $F$ de $\langle\eta|_{C},\tilde{\mu}_{C}\rangle$, lequel est uniquement déterminé, par la définition-même du faisceau des formes sur un polytope.

La forme $\omega$ donne ainsi naissance sans ambiguïté à une $(n-1)$-forme différentielle (classique) à coefficients mesurables sur $U\cap F$, que l’on notera $\langle\omega,\tilde{\mu}_{F}\rangle$.

La masse totale de la mesure sur $U\cap F$ déduite de $\langle\omega,\tilde{\mu}_{F}\rangle$ ne dépend que de $\mu_{F}$ et sera notée $\int_{F\cap U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{F}}\mathclose{|}\rangle$. Si cette masse est finie, l’intégrale de $\langle\omega,\tilde{\mu}_{F}\rangle$ sur $U\cap F$ ne dépend que de $\mu_{F}$ et sera notée $\int_{F\cap U}\langle\omega,\mu_{F}\rangle$.

On pose alors

$$\int_{\partial_{\mathscr{C}}P\cap U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\mu}\mathclose{|}\rangle=\sum_{F\in\mathscr{C}_{m-1}}\int_{F\cap U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{F}}\mathclose{|}\rangle.$$

On dit que $\omega$ est $\partial\mu$-intégrable si cette somme est finie, et si c’est le cas l’on pose

$$\int_{U\cap\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\omega,\partial\mu\rangle=\sum_{F\in\mathscr{C}_{n-1}}\int_{F\cap U}\langle\omega,\mu_{F}\rangle.$$

(1.5.4.1)

Si $\omega$ est $\partial\mu$-intégrable, il résulte de nos constructions que l’on peut également écrire

$$\int_{U\cap\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\omega,\partial\mu\rangle=\sum_{\begin{subarray}{c}F\in\mathscr{C}_{m-1},\\ C\in\mathscr{C}_{>F}\end{subarray}}\int_{F\cap U}\langle\omega,\partial\mu_{C}^{+}\rangle,$$

où la notation $\partial\mu_{C}^{+}$ est celle de 1.3.7, relative au demi-espace de $\langle C\rangle$ bordé par $\langle F\rangle$ et contenant $C$.

On prendra garde qu’en général, $\partial_{\mathscr{C}}P$ contient strictement le bord de $P$. Dans ce cas, $\int_{\partial\mathscr{C}}\langle\omega,\partial\mu\rangle$ fait intervenir des $(n-1)$-faces qui sont intérieures à $P$. En revanche, seules interviennent les faces qui ne sont pas harmonieuses.