Le domaine analytique $g_{\text{trop}}^{-1}(g_{\text{trop}}(V_{0}))$ de $V$ contient le fermé de Zariski $V_{0}$  ; il contient donc un voisinage de $V_{0}$ (car $V_{0}\hookrightarrow V$ est sans bord). Par propreté topologique de $f$, on en déduit que $g_{\text{trop}}(V_{t})$ est inclus dans $g_{\text{trop}}(V_{0})$ pour tout $t$ suffisamment proche de $0$.

Nous allons établir un résultat analogue à propos de $\partial V$. Celui-ci est contenue dans une réunion finie de compacts qui sont chacun de la forme $\varphi^{-1}(\eta_{s})$ pour un certain $\varphi:V\to\mathbf{A}^{1}$ et un certain $s>0$ ([32], lemme 3.1).

Soit $\varphi:V\to\mathbf{A}^{1}$ un morphisme et soit $s>0$. Pour tout $x\in\varphi^{-1}(\eta_{s})\cap V_{0}$, on a $n-1\leq d_{k}(x)=d_{{\mathscr{H}}(\eta_{s})}(x)+1$  ; par conséquent, $d_{{\mathscr{H}}(\eta_{s})}(x)\leq n-2$, et la dimension ${\mathscr{H}}(\eta_{s})$-analytique de $\varphi^{-1}(\eta_{s})\cap V_{0}$ est donc de dimension majorée par $n-2$. Dès lors, $g_{\text{trop}}(\varphi^{-1}(\eta_{s})\cap V_{0})$ est un polytope $Q$ de dimension inférieure ou égale à $n-2$. Son image réciproque $g_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ est un domaine analytique compact de $V$. Son intersection avec $\varphi^{-1}(\eta_{s})$ est un domaine analytique compact $W$ de ce dernier, qui est dès lors un voisinage de $W\cap V_{0}$ dans $\varphi^{-1}(\eta_{s})$  ; par conséquent, $W$ contient $\varphi^{-1}(\eta_{s})\cap V_{t}$ pour $t$ suffisamment petit.

Il s’ensuit qu’il existe un polytope $\Delta\subset g_{\text{trop}}(V_{0})$ de dimension $\leq n-2$ tel que $g_{\text{trop}}(\partial V\cap V_{t})\subset\Delta$ pour tout $t$ suffisamment petit. Soit $r$ tel que $g_{\text{trop}}(V_{t})\subset g_{\text{trop}}(V_{0})$ et $g_{\text{trop}}(\partial V\cap V_{t})\subset\Delta$ pour tout $t\in D(0,r)$.

Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $g_{\text{trop}}(V_{0})$ telle que $\Delta$ soit contenu dans la réunion des $n-2$ cellules de $\mathscr{C}$.

Soit $P$ une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$. Il suffit de montrer les résultats suivants :

• —

  pour tout $t\in D(0,r)$, on a $P\subset g_{\text{trop}}(V_{t})$, et le calibrage de $g_{\text{trop}}(V_{t})$ sur $P$ est constant et égal à celui de $g_{\text{trop}}(V_{0})$ sur $P$  ;

• —

  pour tout segment $I$ de $]0;r[$ le calibrage de $h_{\text{trop}}(V_{I})$ sur $P\times I$ se déduit de celui de $g_{\text{trop}}(V_{0})$ sur $P$ par produit avec le calibrage standard de $I$.

Il résulte de la définition des calibrages que l’on peut, pour ce faire, remplacer $V$ par $g_{\text{trop}}^{-1}(P)$ puis, en composant $g$ avec une projection $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}$ bien choisie (de façon à induire une injection sur $P$), supposer que $N=n-1$  ; notons que l’égalité $\mathring{P}\cap g_{\text{trop}}(\partial V\cap V_{t})=\emptyset$ (pour $t\in D(0,r)$) est préservée par cette modification.

Soit $t\in D(0,r)$ et soit $S_{t}$ le squelette de $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1})_{t}$. Soit $x$ un point de l’image canonique $\mathring{P}_{{\mathrm{sq}},t}$ de $\mathring{P}$ dans $S_{t}$. Nous allons montrer que $h$ est fini et plat de degré strictement positif au-dessus de $x$, et que ce degré ne dépend pas de $x$.

La dimension relative de $h$ est égale à $0$ au-dessus de $x$. En effet, $d_{{\mathscr{H}}(t)}(x)=n-1$. Si $y$ est un antécédent de $x$ par $h$, on a

Comme $V_{t}$ est de dimension $n-1$, on a $d_{{\mathscr{H}}(t)}(y)\leq n-1$ et donc $d_{{\mathscr{H}}(x)}(y)=0$. La fibre de $h$ en $x$ est donc de dimension nulle, ce qu’on souhaitait établir.

Le morphisme $h$ est sans bord en tout point situé au-dessus de $x$. En effet, la projection de $x$ sur $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1})_{\text{trop}}$ appartient par construction à $\mathring{P}$, laquelle ne rencontre pas $g_{\text{trop}}(\partial V\cap V_{t})$  ; tous les antécédents de $x$ par $h$ sont dès lors des points intérieurs de $V$, d’où l’assertion.

Le morphisme $h$ est plat au-dessus de $x$. En effet, comme $d_{{\mathscr{H}}(t)}(x)=n-1$, on a $d_{k}(x)\leq n-1$. En conséquence, il résulte de 2.1.3 que l’anneau local $\mathscr{O}_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1},x}$ est de dimension $\leq 1$  ; c’est donc ou bien un corps, ou bien un anneau de valuation discrète, puisque $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1}$ est lisse. Si c’est un corps, l’assertion est évidente.

Supposons que ce soit un anneau de valuation discrète, et soit $y$ un antécédent de $x$. Comme $\mathscr{O}_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1},x}$ est un anneau de valuation discrète, la dimension centrale de ce germe (2.1.3) vaut 1. Le morphisme $h$ étant fini en $y$ par ce qui précède, la dimension centrale de $\mathscr{O}_{V,y}$ est égale à $1$ d’après le lemme 1.13 de [30]. En utilisant à nouveau 2.1.3, on voit que $\mathscr{O}_{V,y}$ est de dimension $1$. Comme $X$ est $S_{1}$, l’anneau local $\mathscr{O}_{V,y}$ est $S_{1}$ (cf. [29], th. 3.4) et donc de Cohen-Macaulay.

Récapitulons : $\mathscr{O}_{V,y}$ est une $\mathscr{O}_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1},x}$-algèbre finie et de même dimension que $\mathscr{O}_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1},x}$  ; l’anneau $\mathscr{O}_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1},x}$ est régulier et $\mathscr{O}_{V,y}$ est de Cohen-Macaulay. Par conséquent, la $\mathscr{O}_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1}\times\mathbf{A}^{1},x}$-algèbre $\mathscr{O}_{V,y}$ est plate, et $h$ est ainsi plat en tout point situé au-dessus de $x$.

Le degré de $h$ au-dessus de $x$ ne dépend pas de $x$. Cela résulte simplement de la connexité de $\Sigma:=\{\mathring{P}_{{\mathrm{sq}},t}\}_{t\in D(0,r)}$, que nous allons établir. Si $\xi\in\mathring{P}$, notons $\xi_{{\mathrm{sq}},t}$ le point de $\mathring{P}_{{\mathrm{sq}},t}$ qui lui correspond. Donnons-nous deux points $\xi^{1}_{{\mathrm{sq}},t_{1}}$ et $\xi^{2}_{{\mathrm{sq}},t_{2}}$ de $\Sigma$. On relie alors $\xi^{1}_{{\mathrm{sq}},t_{1}}$ à $\xi^{2}_{{\mathrm{sq}},t_{1}}$ grâce à un chemin joignant $\xi^{1}$ à $\xi^{2}$ sur $\mathring{P}$, puis $\xi^{2}_{{\mathrm{sq}},t_{1}}$ à $\xi^{2}_{{\mathrm{sq}},t_{2}}$ grâce à un chemin reliant $t_{1}$ à $t_{2}$ sur $D(0,r)$ (on utilise la continuité de la section de Shilov associé à $\xi^{2}$).

Conclusion. Notons $d$ cette valeur commune du degré. Soit $x\in\Sigma$ et soit $t$ son image sur $D(0,r)$. Comme $h$ est fini et plat de degré $d$ au-dessus de $x$, le morphisme $g_{t}:V_{t}\to(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n-1})_{t}$ est fini et plat de degré $d$ au-dessus de $x$ par fonctorialité. En particulier, $d$ est égal au degré de $g_{0}$ au-dessus de n’importe quel point de $P^{\prime}_{{\mathrm{sq}},0}$ et il est donc non nul. Il s’ensuit que $P^{\prime}\subset g_{\text{trop}}(V_{t})$ pour tout $d\in D(0,r)$  ; par compacité, $P\subset g_{\text{trop}}(V_{t})$ pour tout $t\in D(0,r)$. Ceci achève la démonstration, nos assertions sur les degrés entraînant les propriétés requises pour les calibrages. ∎