Fixons une classe admissible $\mathscr{F}$ de fonctions numériques. Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ et soit $P$ un polytope de $V$ ; on note $j$ l’injection canonique de $P$ dans $V$.

Soit $U$ un ouvert de $P$. On définit $\mathscr{N}^{p,q}(U)$ comme le sous-espace vectoriel de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})(U)$ constitué des formes $\omega$ possédant la propriété suivante : pour toute cellule $C$ de $V$ contenue dans $P$, l’image de $\omega$ dans $\mathscr{F}^{p,q}_{\langle C\rangle}(\langle C\rangle\cap U)$, dont le germe au voisinage de $C\cap U$ est défini sans ambiguïté, est nulle en tout point de $C\cap U$. Comme

$$\mathscr{F}^{p,q}_{\langle C\rangle}=\bigoplus_{|I|=p,|J|=q}\mathscr{F}_{\langle C\rangle}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J},$$

cette propriété se traduit, en coordonnées, par la nullité d’un certain nombre d’applications sur $C\cap U$.

Pour vérifier qu’une section de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})(U)$ appartient à $\mathscr{N}^{p,q}(U)$, il suffit de s’assurer que la condition ci-dessus est satisfaite sur un ensemble de cellules recouvrant $P$ (par exemple, sur une décomposition cellulaire de $P$). Lorsque $\mathscr{F}$ est contenue dans la classe des fonctions continues, on peut se contenter de tester l’annulation requise en les points intérieurs des cellules considérées.

Il est immédiat que $\mathscr{N}^{p,q}$ est un sous-faisceau en $\mathbf{R}$-espaces vectoriels de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})$. On définit alors le faisceau $\mathscr{F}_{P}^{p,q}$ comme le faisceau quotient de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})$ par son sous-faisceau $\mathscr{N}^{p,q}$. Cette définition est compatible avec la précédente lorsque $P$ est un sous-espace affine de $V$.

Le faisceau $\mathscr{F}^{*,*}_{P}$ est un $\mathscr{A}_{P}$-module gradué, et une $\mathscr{F}_{P}$-algèbre graduée si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication. On écrira $\mathscr{F}_{P}$ au lieu de $\mathscr{F}^{0,0}_{P}$, et parfois $\Omega^{p}_{P}$ au lieu de $\mathscr{A}^{p,0}_{P}$. Lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, $\mathscr{F}_{P}$ un faisceau d’anneaux.