De même que l’intégrale d’une forme de type $(\dim(V),\dim(V))$ sur $V$ dépend d’un choix de coordonnées affines, ou plutôt, comme on l’a vu, du choix d’un vecteur-volume sur $V$, la définition de l’intégrale sur $P$ d’une forme de type $(n,n)$ à coefficients mesurables va requérir des données supplémentaires.

Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire de $P$  ; pour tout $m$, on note $\mathscr{C}_{m}$ l’ensemble des cellules de $\mathscr{C}$ qui sont de dimension $m$.

Pour toute cellule $C$ de dimension $n$, choisissons un vecteur-volume $\mu_{C}\in\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle C\rangle}}\mathclose{|}$. On note $\mu$ la famille $(\mu_{C})$ ainsi obtenue ; on dit que c’est un calibrage du polytope $P$ subordonné à la décomposition $\mathscr{C}$.

Soit $U$ un ouvert de $P$ et soit $\omega$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur $U$.

On pose

$$\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle=\sum_{C\in\mathscr{C}_{n}}\int_{U\cap\langle C\rangle}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{C}}\mathclose{|}\rangle.$$

On dit que $\omega$ est $\mu$-intégrable si cette somme est finie  ; il revient au même de demander que $\omega|_{\langle C\rangle\cap U}$ soit $\mu_{C}$-intégrable pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{n}$.

Si $\omega$ est $\mu$-intégrable, on définit l’intégrale de $\omega$ sur $U$ relativement au calibrage $\mu$ par la formule

$$\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle=\sum_{C\in\mathscr{C}_{n}}\int_{U\cap\langle C\rangle}\langle\omega,\mu_{C}\rangle.$$

(1.5.1.1)