5.1 Formes positives en géométrie tropicale [01SY]

Original official author HTML, exact retained edition. Historical TeX conversion verdicts remain unchanged. Cited-edition alignment and mathematical self-containment are not assessed.

Complete original source context · Original author HTML

5.1 Formes positives en géométrie tropicale

Rappelons des définitions de Lagerberg [43].

\definame 5.1.1.

Soit $V$ un espace affine réel de dimension $n$ . Soit $\omega$ une forme lisse de type $(p,p)$ sur un ouvert $U$ de $V$ .

a)

Si $p=n$ , on dit que $\omega$ est positive si dans une base $(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\overrightarrow{V}^{*}$ , il existe une fonction lisse $f$ sur $U$ , positive ou nulle en tout point, telle que $\omega=f\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}{x_{1}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}{x_{1}}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}{x_{n}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}{x_{n}}$ . (Il existe alors une telle fonction pour toute base de $\overrightarrow{V}^{*}$ .)
b)

On dit que $\omega$ est faiblement positive si pour toute famille $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n-p})$ de formes de type $(1,0)$ , la $(n,n)$ -forme

$\omega\wedge\alpha_{1}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{1})\wedge\dots\wedge\alpha_{n-p}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{n-p})$

est positive sur $U$ .
c)

On dit que $\omega$ est positive si pour toute forme $\alpha$ de type $(n-p,0)$ , la $(n,n)$ -forme

$(-1)^{(n-p)(n-p-1)/2}\omega\wedge\alpha\wedge\mathrm{J}(\alpha)$

est positive sur $U$ .
d)

On dit que $\omega$ est fortement positive s’il existe des fonctions $f_{s}$ , lisses et positives ou nulles sur $U$ , et des formes $\alpha_{j,s}$ de type $(1,0)$ (pour $1\leq j\leq p$ et $s$ dans un ensemble fini) telles que

$\omega=\sum_{s}f_{s}\alpha_{1,s}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{1,s})\wedge\dots\wedge\alpha_{p,s}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{p,s}).$

Pour l’explication du signe dans la condition c), noter que si $\alpha=\alpha_{1}\wedge\dots\wedge\alpha_{m}$ est le produit de $m$ formes de type $(1,0)$ , alors

\alpha_{1}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{1})\wedge\dots\wedge\alpha_{m}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{m})=(-1)^{m(m-1)/2}\alpha\wedge\mathrm{J}(\alpha).

5.1.2

Une fonction est fortement positive si et seulement si elle prend des valeurs positives ou nulles en tout point.

Une forme fortement positive est positive, une forme positive est faiblement positive. En bidegrés $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(n-1,n-1)$ et $(n,n)$ ces trois notions coïncident.

Chacun de ces trois espaces de formes définit un cône convexe fermé. Par définition, une forme $\alpha$ de type $(p,p)$ est faiblement positive si et seulement si $\alpha\wedge\beta$ est positive pour toute forme $\beta$ fortement positive de type $(n-p,n-p)$ . Comme ces conditions sont ponctuelles, la bidualité des cônes convexes fermés en dimension finie entraîne que $\alpha$ est fortement positive si et seulement si $\alpha\wedge\beta$ est positive pour toute forme faiblement positive $\beta$ .

La condition de positivité est auto-duale ([43], commentaires avant le lemme 2.2) : une forme $\alpha$ de type $(p,p)$ est positive si et seulement si $\alpha\wedge\beta$ est positive pour toute forme positive de type $(n-p,n-p)$ .

\propname 5.1.3 ([43], Proposition 2.2).

Une forme $\omega$ de type $(p,p)$ sur un ouvert $U$ de $V$ est faiblement positive si et seulement si pour tout espace affine $W$ de dimension $p$ et toute application affine $f\colon W\rightarrow V$ , $f^{*}\omega$ est une forme positive sur l’ouvert $f^{-1}(U)$ de $W$ .

\propname 5.1.4 ([43], Lemma 2.1).

Soient $\omega_{1},\dots,\omega_{s}$ des formes positives (resp. faiblement positives) et posons $\omega=\omega_{1}\wedge\dots\wedge\omega_{s}$ .

Si les $\omega_{j}$ sont toutes fortement positives, alors $\omega$ est fortement positive.

Si au plus une d’entre elle n’est pas fortement positive, alors $\omega$ est positive (resp. faiblement positive).

Démonstration.

Par récurrence, il suffit de prouver que si une forme $\beta$ est fortement positive, alors $\alpha\wedge\beta$ est de même nature que $\alpha$ . On peut supposer que $\beta$ est de la forme $\beta_{1}\wedge\mathrm{J}\beta_{1}\wedge\dots\wedge\beta_{m}\wedge\mathrm{J}\beta_{m}$ , où les $\beta_{j}$ sont des formes de type $(1,0)$ . Dans chacun des trois cas, la preuve est alors directe. ∎

\remaname 5.1.5.

Soit $\omega$ une forme lisse de type $(p,p)$ sur un ouvert $U$ d’un espace affine $V$ . Soit $V^{\prime}$ un sous-espace affine de $V$ et soit $U^{\prime}=U\cap V^{\prime}$ . Si $\omega$ est positive (resp. faiblement positive, resp. fortement positive) sur $U$ , il en est de même de sa restriction à $U^{\prime}$ .

Comme toute forme sur $U^{\prime}$ est la restriction d’une forme sur $U$ , c’est évident dans le cas d’une forme fortement positive. Traitons les deux autres cas.

Soit $(x_{1},\dots,x_{n})$ une base de $\overrightarrow{V}^{*}$ telle que les restrictions $(x^{\prime}_{1},\dots,x^{\prime}_{m})$ de $(x_{1},\dots,x_{m})$ à $\overrightarrow{V}^{\prime}$ soient linéairement indépendantes. Supposons $\omega$ positive et montrons que $\omega^{\prime}=\omega|_{U^{\prime}}$ l’est encore. Soit $\alpha^{\prime}$ une forme de type $(m-p,0)$ sur $U^{\prime}$ et soit $\alpha$ une forme de type $(m-p,0)$ sur $U$ dont la restriction à $U^{\prime}$ est égale à $\alpha^{\prime}$ . On peut donc écrire

(-1)^{(m-p)(m-p-1)/2}\omega^{\prime}\wedge\alpha^{\prime}\wedge\mathrm{J}(\alpha^{\prime})=f^{\prime}\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x^{\prime}_{1}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x^{\prime}_{1}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x^{\prime}_{m}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x^{\prime}_{m},

où $f^{\prime}$ est une fonction lisse sur $U^{\prime}$ . Par suite, la décomposition de la forme

\omega\wedge\alpha\wedge\mathrm{J}(\alpha)=\sum_{\mathopen{|}{I}\mathclose{|},\mathopen{|}{J}\mathclose{|}=m}f_{IJ},\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J},

on a $f_{II}|_{U^{\prime}}=f^{\prime}$ si $I=(1,\dots,m)$ . Posons alors $\beta=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{m+1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}$ . On constate que

(-1)^{(n-p)(n-p-1)/2}\omega\wedge\alpha\wedge\beta\wedge\mathrm{J}(\alpha)\wedge\mathrm{J}(\beta)=f_{II}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}.

Comme $\omega$ est positive, $f_{II}$ est positive ou nulle sur $U$ ; par suite, $f^{\prime}$ est positive ou nulle sur $U^{\prime}$ , ce qui démontre que $\omega^{\prime}$ est positive.

Lorsque $\omega$ est faiblement positive, le même argument prouve que $\omega^{\prime}$ est faiblement positive ; il suffit de remarquer qu’une forme $\alpha^{\prime}$ qui est le produit de $p$ formes de type $(1,0)$ sur $U^{\prime}$ est la restriction à $U^{\prime}$ de produit de $p$ formes de type $(1,0)$ sur $U$ .

5.1.6

Soit $\lambda$ la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\mathopen{\|}{x^{2}}\mathclose{\|}$ sur $\mathbf{R}^{n}$ . On a

\lambda=2\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j}\right)=2\sum_{j=1}^{n}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{j}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j}.

Pour tout entier $p\geq 0$ , la restriction de $\lambda^{p}$ à un sous-espace affine de dimension $p$ est un multiple (strictement positif) de la mesure de Lebesgue sur ce sous-espace. Ainsi, $\lambda^{p}$ est positive. En fait, $\lambda^{p}$ est même fortement positive ([41], corollaire 1.17).

On dira qu’une forme $\omega$ de type $(p,p)$ est strictement positive (resp. faiblement, ou fortement positive) s’il existe un nombre réel $c>0$ tel que $\omega-c\lambda^{p}$ soit une forme positive (resp.…).