Soit $X$ un espace $k$-analytique de dimension $d$, soit $T$ un tore de dimension quelconque et soit $T^{\prime}$ un tore de dimension $d$  ; on se donne un moment $f\colon X\to T$ et un morphisme affine surjectif $p\colon T\to T^{\prime}$. Comme $X$ est compact, $f_{\text{trop}}(X)$ est un polytope compact de $T_{\text{trop}}$ de dimension au plus $d$, et $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope compact de dimension au plus $d-1$.

Soit $Q$ un ouvert connexe et non vide de $T^{\prime}_{\text{trop}}$ contenu dans $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)$ et ne rencontrant pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$  ; remarquons qu’il existe une décomposition cellulaire de $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)$ dont toutes les cellules ouvertes de dimension $d$ satisfont cette propriété. Soit $(P_{i})$ la famille des composantes connexes de $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)$.

L’ouvert $Q$ ne rencontrant pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$, l’ouvert $Q_{\mathrm{sq}}$ de $S(T^{\prime})$ ne rencontre pas $p\circ f(\partial X)$, et $p\circ f$ est dès lors fini et plat au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$, qui est connexe et non vide. Soit $d$ le degré de $p\circ f$ au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$.

L’ouvert $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ de $X$ contient $(p\circ f)^{-1}(Q_{\mathrm{sq}})$  ; il est donc fini et plat de degré $d$ au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$.

On a $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod P_{i}$  ; il vient $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$, chacun d’eux étant ouvert et fermé dans $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)$. Par conséquent, $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ est pour tout $i$ fini et plat au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$  ; notons $d_{i}$ le degré correspondant. L’égalité $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod P_{i}$ implique que les $d_{i}$ sont presque tous nuls et que $d=\sum d_{i}$.

Fixons $i$. L’entier $d_{i}$ est alors nul si et seulement si $p_{\text{trop}}(P_{i})\neq Q$.

En effet, supposons que $d_{i}\neq 0$  ; dans ce cas, tout point de $Q_{\mathrm{sq}}$ a au moins un antécédent dans $f^{-1}_{\text{trop}}(P_{i})$, d’où il découle que $(p\circ f)_{\text{trop}}(f^{-1}_{\text{trop}}(P_{i}))=Q$, puis que $p_{\text{trop}}(P_{i})=Q$, d’où la surjectivité de $P_{i}\to Q$.

Réciproquement, supposons que $P_{i}$ se surjecte sur $Q$. Il existe alors nécessairement une cellule $C$ de $T_{\text{trop}}$ de dimension $d$, contenue dans $f_{\text{trop}}(X)$, s’envoyant injectivement dans $T^{\prime}_{\text{trop}}$ et rencontrant $P_{i}$. Il existe dès lors un polytope compact non vide $P$ de dimension $d$ contenu dans $P_{i}$ et tel que $P\simeq p_{\text{trop}}(P)$. Appelons $W$ le compact $f_{\text{trop}}^{-1}(P)$. Comme $P$ est contenu dans $f_{\text{trop}}(X)$ on a $f_{\text{trop}}(W)=P$  ; par conséquent, $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)=p_{\text{trop}}(P)$ est un polytope de dimension $d$. Si la dimension tropicale de $(p\circ f)|_{W}$ en tout point de $W$ était majorée par $d-1$ le polytope $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)$ serait de dimension au plus $d-1$, ce qui est contradictoire. Il existe donc un point de $W$ en lequel la dimension tropicale de $(p\circ f)|_{W}$ est égale à $d$  ; il en résulte que $(p\circ f)(W)$ rencontre $S(T^{\prime})$. Compte-tenu du fait que $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)=p_{\text{trop}}(P)\subset Q$, il s’ensuit que $(p\circ f)(W)$ rencontre $Q_{\mathrm{sq}}$. Ainsi, il existe un point $x\in Q_{\mathrm{sq}}$ dont la fibre rencontre $W\subset f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$  ; le degré de $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ au-dessus de $x$ est donc non nul, ce qu’il fallait démontrer.

Changement de paramétrage au but. Donnons-nous un tore $T^{\prime\prime}$ de dimension $d$ et un morphisme affine et surjectif $q\colon T^{\prime}\to T^{\prime\prime}$. Un tel morphisme est fini et plat  ; notons $e$ son degré. L’application $q_{\text{trop}}\colon T^{\prime}_{\text{trop}}\to T^{\prime\prime}_{\text{trop}}$ est alors une bijection affine, $q^{-1}(S(T^{\prime\prime}))$ s’identifie à $S(T^{\prime})$ et $S(T^{\prime})\to S(T^{\prime\prime})$ est un homéomorphisme (2.4.1).

Soit $R$ l’image de $Q$ par la bijection affine $q_{\text{trop}}$. Si $z\in R_{\mathrm{sq}}$ alors $z$ a un unique antécédent $x$ sur $T^{\prime}$, qui est situé sur $S(T^{\prime})$ et par conséquent sur $Q_{\mathrm{sq}}$  ; le morphisme $q$ est fini et plat de degré $e$ en $x$. Il s’ensuit que $X$ est fini et plat de degré $de$ au-dessus de $R_{\mathrm{sq}}$  ; par le même raisonnement, $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ est fini et plat de degré $d_{i}\cdot e$ sur $R_{\mathrm{sq}}$.