La coïncidence des cônes rationnels $\tilde{C}$ et $C$ est démontrée dans [32] (théorème 3.3 et sa preuve).

Pour démontrer que leurs calibrages coïncident aussi, on choisit une projection de $C$ vers $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$, définie sur $\mathbf{Z}$, dont la restriction à chaque face maximale est injective. On note $p$ la composée de $(X,x)\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}$ et du morphisme de tores $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ qui induit la projection choisie. Comme $p_{\text{trop}}(X,x)$ est, par construction, de dimension $n$, son image $p(x)$ est le point de Gauß $\eta_{k}$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. On définit de même $\tilde{p}\colon(V^{\mathrm{an}},\xi)\to((\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\tilde{k}},,\eta_{\tilde{k}})$. Notons que $\widetilde{{\mathscr{H}}(\eta_{k})}$ est égal à $\tilde{k}(T_{1},\ldots,T_{n})$.

Soit $F$ la sous-extension modérément ramifiée maximale de ${\mathscr{H}}(x)/{\mathscr{H}}(\eta_{k})$. Son corps résiduel $\tilde{F}$ est la fermeture séparable de $\widetilde{{\mathscr{H}}(\eta_{k})}$ dans $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$.

Le corps ${\mathscr{H}}(\eta_{k})$ étant stable,

Choisissons une décomposition conique de $C$ et une décomposition conique de $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$ compatibles avec les différents calibrages considérés. Considérons une cellule ouverte maximale $D$ de $C$, et soit $D^{\prime}$ son image dans $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$.

On peut définir $D$ comme le lieu de validité sur $C$ d’une conjonction $\Phi$ d’inégalités de la forme $\varphi<1$ où $\varphi$ est un monôme en les fonctions coordonnées  ; de même, $D^{\prime}$ est définie par une conjonction $\Phi^{\prime}$. Soit $\widetilde{\Psi}$ la conjonction d’inégalités correspondante portant sur les normes des fonctions $\widetilde{a_{i}(x)}$. Quitte à multiplier tous les exposants en jeu par une puissance convenable de $p$, on peut supposer que les fonctions qui interviennent dans $\widetilde{\Psi}$ appartiennent toutes à $\tilde{F}$  ; on les relève dans $F$ et l’on note $\Psi$ la conjonction d’inégalités correspondante. On désigne par $\Psi^{\prime}$ (resp. $\widetilde{\Psi^{\prime}}$) la conjonction d’inégalités entre les $\mathopen{|}{T_{i}}\mathclose{|}$, où les $T_{i}$ sont vues comme fonctions analytiques sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ (resp. $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\tilde{k}}$), qui correspond à $\Phi^{\prime}$.

Pour montrer que les calibrages de $C$ et $\tilde{C}$ coïncident sur $D$, il suffit de montrer l’égalité des degrés $N$ et $\tilde{N}$ correspondants.

Le degré $N$ peut être caractérisé ainsi : tout point de $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$ satisfaisant $\Psi^{\prime}$ et suffisamment proche de $\eta_{k}$ a $N$ antécédents (comptés avec corps résiduels et multiplicités) dans l’ouvert défini par la condition $\Psi$.

De même, tout point de $S((\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\tilde{k}})$ satisfaisant $\widetilde{\Psi^{\prime}}$ et suffisamment proche de $\eta_{\tilde{k}}$ a $\tilde{N}$ antécédents (comptés avec multiplicités égales au produit du degré de l’extension de corps résiduels et de la multiplicité géométrique) dans l’ouvert défini par la condition $\widetilde{\Psi}$.

Soit $m$ l’entier tel que

L’extension $F$ définit un revêtement fini étale $\mathscr{Y}$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ au voisinage de son point générique, et $(X,x)\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ se factorise par $\mathscr{Y}^{\mathrm{an}}$.

Si $y$ désigne l’image de $x$ sur $\mathscr{Y}^{\mathrm{an}}$ alors $(X,x)\to(\mathscr{Y}^{\mathrm{an}},y)$ est fini et plat de degré $p^{m}$. La condition $\Psi$ ne portant, par construction, que sur des normes de fonctions sur $\mathscr{Y}$, elle définit un ouvert $\Omega$ de $\mathscr{Y}^{\mathrm{an}}$. Tout point de $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$ satisfaisant $\Psi^{\prime}$ et suffisamment proche de $\eta_{k}$ a exactement $N/p^{m}$ antécédents dans $\Omega$  ; ces antécédents sont comptés avec les multiplicités données par le degré de l’extension de corps résiduels, mais comme $\mathscr{Y}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est étale, les multiplicités géométriques sont égales à $1$.

On peut faire le même jeu au niveau résiduel. L’extension $\tilde{F}$ définit un revêtement fini étale $\widetilde{\mathscr{Y}}$ de $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\tilde{k}}$ au voisinage de son point générique, et $(V^{\mathrm{an}},\xi)\to(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\tilde{k}}$ se factorise par $\widetilde{\mathscr{Y}^{\mathrm{an}}}$. Si $\zeta$ désigne l’image de $\xi$ sur $\widetilde{\mathscr{Y}}^{\mathrm{an}}$ alors $(V^{\mathrm{an}},\xi)\to(\widetilde{\mathscr{Y}}^{\mathrm{an}},\zeta)$ est fini et plat de degré $p^{m}$. La condition $\widetilde{\Psi}$ ne portant, par construction, que sur des normes de fonctions sur $\widetilde{\mathscr{Y}}$, elle définit un ouvert $\widetilde{\Omega}$ de $\widetilde{\mathscr{Y}}^{\mathrm{an}}$. Tout point de $S((\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))_{\tilde{k}})$ satisfaisant $\widetilde{\Psi^{\prime}}$ et suffisamment proche de $\eta_{\tilde{k}}$ a $\tilde{N}/p^{m}$ antécédents dans $\widetilde{\Omega}$ (comme précédemment, chaque antécédent est affecté d’une multiplicité égale au degré de l’extension de corps résiduel ; les multiplicités valent $1$ car $\widetilde{\mathscr{Y}}\to(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\tilde{k}}$ est étale).

Choisissons un groupe ordonné $\gimel$ contenant $\mathbf{R}^{\times}_{+}$ tel qu’il existe $\bf g\in\gimel^{n}$ satisfaisant $\Phi^{\prime}$ et infiniment proche de $1$  ; il définit une valuation de Gauß $\eta_{\bf g}$ sur $k(T_{1},\ldots,T_{n})$, ainsi qu’une valuation de Gauß $\eta_{\tilde{k},\bf g}$ sur $\tilde{k}(T_{1},\ldots,T_{n})$. Remarquons que $\eta_{\bf g}$ est la composée de la valuation de Gauß standard $\eta_{\tilde{k}}$ et de $\eta_{\tilde{k},\bf g}$.

Fixons une clôture algébrique $\mathbb{K}$ de $k(T_{1},\ldots,T_{n})$ et une extension de $\eta_{k}$ à $\mathbb{K}$. Son corps résiduel $\widetilde{\mathbb{K}}$ est une clôture algébrique de $\tilde{k}(T_{1},\ldots,T_{n})$  ; munissons-le d’un prolongement de $\eta_{\tilde{k},\bf g}$. En le composant avec le prolongement fixé de $\eta_{k}$, on obtient un prolongement de $\eta_{\bf g}$ à $\mathbb{K}$. On travaille désormais avec ces prolongements, que l’on note de la même manière que les valuations qu’ils étendent.

Soit $\tilde{P}\in\tilde{k}(T_{1},\ldots,T_{n})[\tau]$ tel que $\tilde{F}\simeq\tilde{k}(T_{1},\ldots,T_{n})[\tau]/\tilde{P}$  ; relevons $\tilde{P}$ en un polynôme unitaire $P$ à coefficients dans $k(T_{1},\ldots,T_{n})$.

La condition $\widetilde{\Psi}$ peut ainsi être vue comme portant sur des normes de polynômes en $\tau$ à coefficients dans $\tilde{F}$ (modulo $\tilde{P}$).

On peut alors voir $\Psi$ comme une condition portant sur les normes de polynômes en $\tau$ à coefficients dans $F^{\circ}$, relevant les précédents.

Un argument de constructibilité, et d’universalité des formules afférentes, assure que $N/p^{m}$ est égal au nombre de racines de $P$ dans $(\mathbb{K},\eta_{\bf g})$ qui satisfont $\Psi$.

De même, $\tilde{N}/p^{m}$ est égal au nombre de racines de $\tilde{P}$ dans $(\widetilde{\mathbb{K}},\eta_{\tilde{k},\bf g})$ qui satisfont $\widetilde{\Psi}$.

Par séparabilité de $\tilde{P}$, la réduction induit une bijection entre l’ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{K}$ et celui des racines de $\tilde{P}$ dans $\widetilde{\mathbb{K}}$.

Comme $\Psi$ est une conjonction de formules du type $|Q(\tau)|<1$ où $Q$ est à coefficients entiers relativement à $\eta_{k}$, comme $\widetilde{\Psi}$ est la réduction de la condition $\Psi$, et comme $\eta_{\bf g}$ est composée de $\eta_{k}$ et de $\eta_{\tilde{k},\bf g}$, une racine de $P$ satisfait $\Psi$ dans $(\mathbb{K},\eta_{\bf g})$ si et seulement si sa réduction satisfait $\widetilde{\Psi}$ dans $(\widetilde{\mathbb{K}},\eta_{\tilde{k},\bf g})$.

Par conséquent, le nombre de racines de $P$ dans $(\mathbb{K},\eta_{\bf g})$ qui satisfont $\Psi$ est égal au nombre de racines de $\tilde{P}$ dans $(\widetilde{\mathbb{K}},\eta_{\tilde{k},\bf g})$ qui satisfont $\widetilde{\Psi}$.

Il vient $N=\tilde{N}$, ce qu’il fallait démontrer. ∎