4.3 Courants d’intégration [01RP]

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4.3 Courants d’intégration

4.3.1

Soit $X$ un espace analytique bon et topologiquement séparé. Soit $L$ une extension complète de $k$ , soit $Y$ un $L$ -espace analytique (bon et topologiquement séparé) qui est de dimension $d$ . Soit $\varphi\colon Y\rightarrow X$ un morphisme d’espaces analytiques qui est topologiquement propre. Par exemple, on peut prendre pour $\varphi$ l’immersion d’un domaine analytique, d’un sous-espace analytique fermé, ou encore d’une fibre d’un morphisme munie de sa structure naturelle d’espace analytique.

Le morphisme $\varphi$ induit une application linéaire naturelle, notée $\varphi^{*}$ , de $\mathscr{A}^{(p,q)}(X)$ dans $\mathscr{A}^{(p,q)}(Y)$ . Si le support d’une forme $\omega$ est compact dans $X$ , il en est de même de celui de la forme $\varphi^{*}\omega$ sur $Y$ .

4.3.2

Pour toute $(d,d)$ -forme lisse $\alpha$ sur $X$ dont le support est compact et disjoint de $\operatorname{Int}(X)$ , posons alors $\langle\varphi_{*}\delta_{Y},\alpha\rangle=\int_{Y}\varphi^{*}\alpha$ , où l’intégrale d’une $(d,d)$ -forme à support compact sur $Y$ a été définie en (3.7). On définit ainsi un courant de bidimension $(d,d)$ sur $X$ , qu’on appelle courant d’intégration sur $Y$ .

Pour démontrer la continuité de $f_{*}\delta_{Y}$ , on se ramène au cas où $Y=X$ puis, compte tenu de la définition de $\int_{Y}$ , à la continuité de l’intégrale d’un polytope calibré dans un espace affine.

4.3.3

Plus généralement, pour toute forme $\omega$ sur $Y$ , de type $(p^{\prime},q^{\prime})$ , et à coefficients continus, on définit le courant $\varphi_{*}(\omega\delta_{Y})$ sur $X$ par la formule $\langle\varphi_{*}(\omega\delta_{Y}),\alpha\rangle=\int_{Y}\omega\varphi^{*}\alpha$ . Il est de bidimension $(d-p^{\prime},d-q^{\prime})$ .

4.3.4

On définit de manière analogue le courant d’intégration sur le bord de $Y$ , noté $\delta_{\partial Y}$ , par la formule $\langle\alpha,\delta_{\partial Y}\rangle=\int_{\partial Y}\varphi^{*}\alpha$ , pour toute $(p-1,p)$ -forme à support compact $\alpha$ sur $X$ . Il est donc de bidimension $(p-1,p)$ .

4.3.5

On associe alors à une forme $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}(X)$ le courant $[\alpha]=\alpha\delta_{X}$ de bidimension $(n-p,n-q)$ sur $X$ . Cela définit plus généralement un morphisme de faisceaux

\mathscr{A}^{(p,q)}_{X}\otimes\mathscr{D}_{(p^{\prime},q^{\prime}),X}\rightarrow\mathscr{D}_{(p^{\prime}-p,q^{\prime}-q),X}.

\lemmname 4.3.6.

Supposons que $X$ soit purement de dimension $n$ . Si $\alpha$ est une forme lisse de type $(n,n)$ telle que $[\alpha]=0$ , alors $\alpha=0$ sur $\operatorname{Int}(X)$ .

Démonstration.

Soit $x$ un point de $\operatorname{Int}(X)$ , soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ contenu dans $\operatorname{Int}(X)$ , soit $f\colon V\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}$ un moment et soit $\eta$ une forme lisse sur $f_{\text{trop}}(V)$ telle que $\alpha=f^{*}\eta$ .

Démontrons que $\eta$ est nulle en prouvant que sa restriction à toute cellule ouverte maximale de $P=f_{\text{trop}}(V)$ est nulle.

Si $\dim(P)<n$ , alors $\eta$ est nulle. Supposons que $\dim(P)=n$ et soit $Q$ une cellule ouverte de $P$ de dimension $n$ . Par construction, $f_{\text{trop}}(x)\in\bar{Q}$ . Par ailleurs, $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ est contenu dans un polytope de dimension $<n$ contenu dans $P$ ; il est en particulier d’intérieur vide dans $Q$ . Pour démontrer que $\eta|_{Q}=0$ , il suffit de prouver que $\eta$ est nulle au voisinage de tout point $y$ de $Q\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}f_{\text{trop}}(\partial(V))$ .

Soit $\theta$ une fonction sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{N}$ , de classe $\mathscr{C}^{\infty}$ , dont le support ne rencontre aucune autre cellule que $Q$ et ne rencontre pas $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ . La fonction $f|_{V}^{*}\theta$ est lisse sur $V$ et son support ne rencontre pas le bord de $V$ , et donc pas le bord de $V$ dans $X$ . Son extension par $0$ , notée $f^{*}\theta$ , est donc une fonction lisse à support propre sur $X$ . On donc $\int_{X}(f^{*}\theta)\alpha=0$ . Comme le support de $(f^{*}\theta)\alpha$ est contenu dans $V$ , on a $\int_{V}(f^{*}\theta)\alpha=0$ . Comme le support de $\theta$ ne rencontre que la cellule ouverte $Q$ , cette dernière intégrale est donnée par $\int_{Q}\langle\theta\eta,\mu_{Q}\rangle$ , où $\mu$ désigne le calibrage canonique de $V$ . Comme $\theta$ est arbitraire, cela entraîne que la restriction de $\eta$ à la face $Q$ est nulle, ce qu’on voulait démontrer. ∎

\coroname 4.3.7.

Si $[\alpha]=0$ , alors $\alpha=0$ sur $\operatorname{Int}(X)$ .

Démonstration.

Supposons que la restriction à $\operatorname{Int}(X)$ ne soit pas nulle. Soit $\beta$ une forme sur $\operatorname{Int}(X)$ telle que $\alpha\wedge\beta\neq 0$ (proposition 3.2.8 Soit $x$ un point du support de $\alpha\wedge\beta$ et soit $\lambda$ une fonction lisse à support propre sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ . La forme $\lambda\beta$ sur $\operatorname{Int}(X)$ est à support compact, donc son prolongement par zéro est une forme $\omega$ à support propre sur $X$ et la forme $\alpha\wedge\omega$ n’est pas nulle sur $\operatorname{Int}(X)$ . D’après le lemme 4.3.6, on a donc $[\alpha\wedge\omega]\neq 0$ . Il existe donc une fonction $\varphi$ lisse à support propre sur $X$ telle que $\langle[\alpha\wedge\omega],\varphi\rangle\neq 0$ . Puisque

\langle[\alpha\wedge\omega],\varphi\rangle=\int_{X}\varphi\alpha\wedge\omega=\langle[\alpha],\varphi\omega\rangle,

on a $[\alpha]\neq 0$ . ∎

\remaname 4.3.8.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique (bon et topologiquement séparé) purement de dimension $n$ . Soit $\alpha$ une $(n,n)$ -forme dont la restriction à $\operatorname{Int}(X)$ est nulle. Supposons que $\partial(X)$ soit d’intérieur vide. Alors, $\alpha=0$ .

Soit $x$ un point de $X$ ; démontrons que $\alpha$ est nulle au voisinage de $x$ . C’est vrai par hypothèse si $x\in\operatorname{Int}(X)$ ; supposons donc que $x\in\partial(X)$ . Soit $W$ un voisinage de $x$ qui est un domaine analytique compact de $X$ , soit $f\colon W\rightarrow T$ un moment et soit $\omega$ une $(n,n)$ -forme sur $f_{\text{trop}}(W)$ telle que $\alpha=f^{*}\omega$ . Comme $x$ appartient au support de $\alpha$ , $f_{\text{trop}}(x)$ appartient au support de $\omega$ et $\omega$ est une $(n,n)$ -forme non nulle au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ . Par suite, $f_{\text{trop}}(W)$ est de dimension $n$ au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ . En outre, comme $\partial(X)\cap W\subset\partial(W)$ , $f_{\text{trop}}(\partial(X)\cap W)$ est contenu dans un polytope de dimension $\leq n-1$ , donc est d’intérieur vide dans les faces de dimension $n$ . Il en résulte qu’au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ , la restriction de $\omega$ à chacune des faces de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(W)$ est nulle. Par suite, $\omega$ est nulle au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ et $\alpha$ est nulle au voisinage de $x$ .

\remaname 4.3.9.

L’hypothèse « $\partial X$ d’intérieur vide » peut sembler surprenante. Elle est vérifiée dans les deux cas importants suivants :

—

L’espace $X$ est sans bord ;
—

La valuation de $k$ est non triviale et l’espace $X$ est strict.

C’est évident dans le premier cas. Dans le second, tout ouvert non vide de $X$ contient un point rigide par le Nullstellensatz analytique et ces points n’appartiennent pas au bord de $X$ , si bien que $\operatorname{Int}(X/k)$ est dense dans $X$ .