Notons $\rho$ l’application de réduction de $X$ dans $\mathfrak{X}$. La question est locale sur $\mathfrak{X}$, ce qui autorise à le supposer affine, donc de la forme $\operatorname{Spf}(\mathfrak{A})$ où $\mathfrak{A}$ est une $k^{\circ}$-algèbre plate topologiquement de présentation finie intégralement close dans $\mathfrak{A}\otimes_{k^{\circ}}k$. On peut également supposer que $\mathfrak{X}$ est équidimensionnel  ; soit $d$ sa dimension. L’espace affinoïde $\mathfrak{X}_{\eta}$ est alors équidimensionnel et de dimension $d$. Comme il est réduit, son lieu de non-normalité $Y$ est de dimension strictement inférieure à $d$. Le corps $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ étant de degré de transcendance $d$ sur $\tilde{k}$, le fermé de Zariski $Y$ de $X$ ne contient pas $x$. Son image $\rho(Y)$ évite donc $\xi$. Comme elle est constructible (et même fermée), quitte à restreindre encore $\mathfrak{X}$, on peut supposer que $\mathfrak{X}_{\eta}$ est intègre et normal. Puisque $\mathfrak{A}$ est intégralement close dans $\mathfrak{A}\otimes_{k^{\circ}}k$, l’algèbre intègre $\mathfrak{A}$ est normale. Soit $\mathfrak{K}$ son corps des fractions.

Le schéma $\mathfrak{X}_{\tilde{k}}$ s’identifie à $\operatorname{Spec}(\mathfrak{A}\otimes_{k^{\circ}}\tilde{k})$  ; le point $\xi$ correspond par ce biais à un point de $\operatorname{Spec}(\mathfrak{A})$ que l’on note encore $\xi$ et qui est de hauteur 1 dans le schéma noethérien normal $\operatorname{Spec}(\mathfrak{A})$. L’anneau local $\mathscr{O}_{\operatorname{Spec}(\mathfrak{A},\xi)}$ est donc l’anneau d’une valuation discrète $v$ de $\mathfrak{K}$ qui prolonge la valuation de $k^{\circ}$, normalisée pour que $v(\mathfrak{K}^{\times})=\mathbf{Z}$. Soit $\pi$ une uniformisante de $k^{\circ}$ et soit $e$ l’entier $v(\pi)$. La longueur de $\mathscr{O}_{\mathfrak{X}_{\tilde{k}},\xi}$ est égale à celle de $\mathscr{O}_{\operatorname{Spec}(\mathfrak{A}),\xi}/\pi$, et donc à $e$.

Soit $\varphi\colon\mathfrak{K}\to\mathbf{R}_{+}$ l’application qui envoie $0$ sur $0$ et $a$ sur $\mathopen{|}{\pi}\mathclose{|}^{v(a)/e}$ si $a\neq 0$. C’est une valeur absolue dont la restriction à $k$ coïncide avec la valeur absolue de ce dernier, et qui est bornée par $1$ sur $\mathfrak{A}$. Elle définit donc un point $x^{\prime}$ de $\mathscr{M}(\mathsf{A}\otimes_{k^{\circ}}k)$. Si $a\in\mathfrak{A}$ on a par construction $a(\xi)=0$ si et seulement si $\varphi(a)<1$, ce qui signifie que $\rho(x^{\prime})=\xi$  ; par conséquent, $x^{\prime}=x$.

Par construction, $(\mathfrak{K},\varphi)$ est un sous-corps valué dense de ${\mathscr{H}}(x)$. Le corps résiduel de ${\mathscr{H}}(x)$ est dès lors égal à celui de $(\mathfrak{K},\varphi)$, c’est-à-dire à celui de $v$ et donc à $\kappa(\xi)$  ; et son groupe des valeurs n’est autre que $\varphi(\mathfrak{K}^{\times})=\mathopen{|}{\pi}\mathclose{|}^{(1/e)\mathbf{Z}}$. Par conséquent, $[\mathopen{|}{{\mathscr{H}}(x)^{\times}}\mathclose{|}:\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}]=e$, ce qui achève la démonstration. ∎