Supposons que $X$ est bon et que $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ est fortement paracompact dans $X$  ; il existe alors un atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$.

En effet, choisissons un voisinage ouvert paracompact $\Omega$ de $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ dans $X$.

Il existe une famille $(V_{i})_{i\in I}$ de domaines affinoïdes de $\Omega$ telle que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $\Omega$. Soit $(\lambda_{i})_{i\in I}$ une partition de l’unité lisse sur $\Omega$ subordonnée au recouvrement $(\mathring{V}_{i})_{i}$.

Pour tout $i\in I$, le support de $\lambda_{i}\omega$ est constitué de points $x$ tels que $d_{k}(x)=n$ (lemme 3.2.5). D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $U_{i}$ du support de $\lambda_{i}\omega$ dans $V_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et $\omega$.

La famille $(\mathring{V}_{i}\cap Y,\lambda_{i}|_{\Omega\cap Y},U_{i}\cap Y)$ est alors un atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$.

Notons qu’on peut également, étant donné un ensemble fini $\mathscr{F}$ de formes mesurables sur $X$, imposer de surcroît aux $U_{i}$, et a fortiori aux $U_{i}\cap Y$, de tropicaliser les formes appartenant à $\mathscr{F}$.