5.7 Un calcul d’opérateur de Monge-Ampère (cas réel) [01UE]

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5.7 Un calcul d’opérateur de Monge-Ampère (cas réel)

\lemmname 5.7.1.

Soit $U$ un ouvert de $\mathbf{R}^{n}$ et soit $h\colon U\rightarrow\mathbf{R}$ une fonction de classe $\mathscr{C}^{2}$ . Alors,

(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=n!\det\big(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\big)\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}.

Démonstration.

Partons de la formule

\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j}.

Alors, dans l’expression

(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=\sum_{\begin{subarray}{c}i_{1},\dots,i_{n}\\ j_{1},\dots,j_{n}\end{subarray}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i_{k}}\partial x_{j_{k}}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i_{k}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j_{k}},

tous les termes pour lesquels $\{i_{1},\dots,i_{n}\}\neq\{1,\dots,n\}$ ou $\{j_{1},\dots,j_{n}\}\neq\{1,\dots,n\}$ sont nuls. Ainsi,

(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=\sum_{\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_{n}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{\sigma(k)}\partial x_{\tau(k)}}\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{\sigma(1)}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{\tau(1)}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{\sigma(n)}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{\tau(n)}.

Remarquons aussi que

\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{\sigma(1)}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{\tau(1)}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{\sigma(n)}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{\tau(n)}=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n},

où $\varepsilon(\cdot)$ désigne la signature d’une permutation. En outre, si $\psi=\tau\circ\sigma^{-1}$ , on a

\prod_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{\sigma(k)}\partial x_{\tau(k)}}=\prod_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{\psi(k)}}

\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)=\varepsilon(\psi).

Par suite,

(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=n!\sum_{\psi\in\mathfrak{S}_{n}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{\psi(k)}}\varepsilon(\psi)\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n},

ainsi qu’il fallait démontrer. ∎

\lemmname 5.7.2.

La fonction $x\mapsto\max(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\mathbf{R}^{n}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe.

Soit $a=(a_{1},\dots,a_{n})$ une famille de nombres réels strictement positifs. La fonction $f_{a}$ de $\mathbf{R}^{n}$ dans $\mathbf{R}$ donnée par

f_{a}(x)=\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\exp(x_{i})\big)

est convexe. Lorsque $\varepsilon\rightarrow 0^{+}$ , on a

\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)=\max(x_{1},\dots,x_{n}),

la limite étant uniforme sur $\mathbf{R}^{n}$ .

Démonstration.

La première propriété résulte de ce qu’un maximum de fonctions convexes est convexe. La fonction $f_{a}$ est lisse sur $\mathbf{R}^{n}$ ; pour démontrer qu’elle est convexe, il suffit de démontrer que sa hessienne est positive. On a en effet

\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}f_{a}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{a_{j}\exp(x_{j})}{\sum a_{k}\exp(x_{k})}=\frac{a_{i}\exp(x_{i})}{\sum a_{k}\exp(x_{k})}\delta_{ij}-\frac{a_{i}a_{j}\exp(x_{i})\exp(x_{j})}{(\sum a_{k}\exp(x_{k}))^{2}}.

Par suite, pour tout $y\in\mathbf{R}^{n}$ , on a

D^{2}f_{a}(y,y)=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}y_{i}^{2}\exp(x_{i})}{\sum a_{k}\exp(x_{k})}-\frac{a_{i}y_{i}a_{j}y_{j}\exp(x_{i})\exp(x_{j})}{(\sum a_{k}\exp(x_{k}))^{2}}.

Posons $u_{i}=a_{i}\exp(x_{i})$ . Comme la fonction $y\mapsto y^{2}$ est convexe, on a

(\sum u_{i}y_{i}^{2})(\sum u_{i})\geq(\sum u_{i}y_{i})^{2},

si bien que $D^{2}f_{a}(y,y)\geq 0$ .

Soit $x\in\mathbf{R}^{n}$ . Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$ , on a

f_{a}(x)\geq\log(a_{i}\exp(x_{i}))=\log(a_{i})+x_{i},

si bien que

	$\displaystyle f_{a}(x)$	$\displaystyle\geq\min(\log(a_{1}),\dots,\log(a_{n}))+\max(x_{1},\dots,x_{n})$
		$\displaystyle=\min(\log(a_{1}),\dots,\log(a_{n}))+f(x),$

tandis que

f_{a}(x)\leq\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\exp(\max(x_{1},\dots,x_{n}))\big)\leq\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\big)+f(x).

Par conséquent, si $\varepsilon>0$ , on a

\varepsilon\min(\log(a_{1}),\dots,\log(a_{n}))+f(x)\leq\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)\leq\varepsilon\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\big)+f(x),

ce qui entraîne que $\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)$ converge uniformément vers $f(x)$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. ∎

5.7.3

Soit $V$ un espace affine réel de dimension finie et soit $(f_{i})_{i\in I}$ une famille non vide de formes affines sur $V$ . Les conditions suivantes sont équivalentes :²² 2 conditions vraisemblablement équivalentes dont je ne sais laquelle doit être mise en évidence. Le seul but est d’introduire une terminologie qui permet la non-nullité du coefficient devant une masse de Dirac.

(i) Soit $j\in I$ . La famille $(\overrightarrow{f_{i}}-\overrightarrow{f_{j}})$ de formes linéaires sur $\overrightarrow{V}$ contient une base de l’espace dual $\overrightarrow{V}^{*}$ .

(ii) La famille $(\overrightarrow{f_{i}})$ contient un repère affine de l’espace des formes linéaires sur $\overrightarrow{V}$ .

(iii) La famille $(f_{i}\pmod{\mathbf{R}})$ contient un repère affine de l’espace des formes affines sur $V$ modulo le sous-espace des formes constantes.

Nous dirons alors que la famille $(f_{i})$ est très séparante. Si c’est le cas, l’ensemble des points $x$ de $V$ tels que $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ pour tous $i,j$ est de cardinal au plus $1$ .

(Preuves : (v) $\Leftrightarrow$ (ii). Si $\sum\lambda_{i}f_{i}\equiv c$ , avec $\sum\lambda_{i}=1$ et $c\in\mathbf{R}$ , on a $\sum_{i\neq j}\lambda_{i}(f_{i}-f_{j})=c$ , puis $\sum_{i\neq j}\lambda_{i}\overrightarrow{f_{i}}-\overrightarrow{f_{j}}=0$ . Et inversement. Donc les $f_{i}$ sont affinement liés modulo constantes ssi les $\overrightarrow{f_{i}}-\overrightarrow{f_{j}}$ sont linéairement dépendants.

(iv) $\Leftrightarrow$ (v). Car $\sum\lambda_{i}\overrightarrow{f_{i}}=0$ ssi $\sum\lambda_{i}f_{i}$ est constante.

(v) $\Rightarrow$ rabiot. Soit $x,y$ tel que $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ pour tous $i,j$ , et $f_{i}(y)=f_{j}(y)$ . Alors, $\overrightarrow{f_{i}}-\overrightarrow{f_{j}}$ s’annule en $x-y$ . Si ces formes linéaires contiennent une base du dual de $\overrightarrow{V}$ , il en résulte $x=y$ .)

\propname 5.7.4.

Soit $V$ un espace affine réel de dimension $n$ , soit $\mu$ un vecteur-volume sur $V$ . Soit $(f_{1},\dots,f_{m})$ une famille de formes affines sur $V$ et soit $g=\max(f_{1},\dots,f_{m})$ .

Pour $x\in V$ , soit $I_{x}$ l’ensemble des $i\in\{1,\dots,m\}$ tels que $g(x)=f_{i}(x)$ . Soit $S$ l’ensemble des points $x$ de $V$ tels que la famille $(f_{i})_{i\in I_{x}}$ soit très séparante. L’ensemble $S$ est fini et il existe une famille $(\lambda_{x})_{x\in S}$ de nombres réels positifs ou nuls, à support fini, telle que

\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle=\sum_{x\in S}\lambda_{x}\delta_{x}.

En outre, $\lambda_{x}$ ne dépend que de la famille $(f_{i})_{i\in I_{x}}$ et du vecteur-volume $\mu$ .

Démonstration.

Soit $I$ une partie non vide de $\{1,\dots,m\}$ telle que la famille $(f_{i})_{i\in I}$ sépare $V$ . Fixons $i\in I$ . Chaque équation $f_{j}(x)=f_{i}(x)$ , pour $j\in I$ ( $j\neq i$ ), définit une hyperplan affine de $V$ ; par hypothèse, l’intersection de ces hyperplans est de cardinal au plus $1$ . Par suite, l’ensemble $S$ est fini.

Soit $x$ un point de $V$ . Au voisinage de $x$ , on a donc $g=\max_{i\in I_{x}}f_{i}$ . Autrement dit, si $y$ est assez petit, on a

g(x+y)=\max_{i\in I_{x}}f_{i}(x+y)=g(x)+\max_{i\in I_{x}}\overrightarrow{f_{i}}(y),

où $\overrightarrow{f_{i}}$ est la forme linéaire associée à $f_{i}$ . D’après le lemme 5.7.2 qu’au voisinage de $x$ , $g$ est limite uniforme d’une famille $(g_{\varepsilon})$ de fonctions convexes lisses provenant de l’espace affine $V_{x}$ image de $V$ par les formes $f_{i}$ , pour $i\in I_{x}$ . Si cet espace est de dimension $<n$ , on a donc $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon})^{n}=0$ , d’où $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}=0$ au voisinage de $x$ .

Cela démontre que le support de la mesure $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}$ est contenu dans $S$ , d’où la proposition. La dernière assertion est évidente. ∎

La preuve du lemme suivant contient une formule explicite pour ces coefficients $\lambda_{x}$ .

\lemmname 5.7.5.

Soit $V$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ , soit $\mu\in\mathopen{|}{\Lambda^{n}V}\mathclose{|}$ un vecteur-volume sur $V$ . Soit $(f_{1},\dots,f_{m})$ une famille de formes linéaires sur $V$ et soit $g=\max(f_{1},\dots,f_{m})$ . Il existe un nombre réel $c\geq 0$ tel que

\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle=c\delta_{0};

de plus, $c=0$ si $(f_{1},\dots,f_{m})$ ne contient pas de base de $V^{*}$ .

Démonstration.

Soit $a=(a_{1},\dots,a_{m})$ une famille de nombres réels strictement positifs. Rappelons que $g_{\varepsilon}(x)=\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)$ est une fonction convexe, lisse, qui converge uniformément vers $g(x)$ quand $\varepsilon\rightarrow 0^{+}$ . On a donc $\rangle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon})^{n},\rangle$ . Remarquons que

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}$	$\displaystyle=\varepsilon^{-1}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon)}{\sum a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon))}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f_{i}$
		$\displaystyle\qquad-\varepsilon^{-1}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon)}{\sum a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon))}\frac{a_{j}\exp(f_{j}(x/\varepsilon)}{\sum a_{j}\exp(f_{j}(x/\varepsilon))}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f_{j}$

Par suite, pour toute fonction $\varphi$ sur $V$ qui est lisse à support compact, on a

	$\displaystyle\int_{V}\varphi\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle$	$\displaystyle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(x)\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}(x)^{n},\mu\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(\varepsilon x)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle=\varphi(0)\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle.$

Cela démontre l’égalité annoncée, avec $c=\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$ . Si elle pourrait être établie directement (soit par un calcul, soit par des propriétés générales, cf. [43], Proposition 3.9), la convergence de cette dernière intégrale résulte aussi de ce calcul. En effet, prenons pour $\varphi$ une fonction positive ou nulle, égale à $1$ dans un voisinage $B$ de $0$ . Comme $g_{1}$ est convexe, $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n}$ est une mesure positive. Alors,

	$\displaystyle\int_{V}\varphi\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle$	$\displaystyle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(\varepsilon x)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle\geq\limsup\int_{\varepsilon^{-1}B}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle=\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle.$

La positivité du courant $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}$ entraîne que $c\geq 0$ . Si l’on soustrait $f_{1}$ de toutes les $f_{i}$ , cela remplace $g$ et $g_{\varepsilon}$ par $g-f_{1}$ et $g_{\varepsilon}-f_{1}$ , donc ne modifie pas $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}$ . Cela permet de supposer que $f_{1}=0$ . Si $(\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{1}},\dots,\overrightarrow{f_{m}}-\overrightarrow{f_{1}})$ ne contient pas de base du dual de $\overrightarrow{V}$ , $g_{1}$ provient d’une fonction lisse sur un espace vectoriel de dimension $<n$ . Par suite, $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n}=0$ . ∎

\lemmname 5.7.6.

Soit $U$ un ouvert convexe de $\mathbf{R}^{n}$ et soit $h\colon U\rightarrow\mathbf{R}$ une fonction lisse, strictement convexe. L’application $\nabla h\colon U\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ est injective et $\int_{U}(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=n!\operatorname{vol}\nabla h(U)$ .³³ 3 Si $h$ est convexe, mais pas strictement convexe, $\nabla h$ n’est plus forcément injective, mais la seconde formule semble toujours vraie. La raison est que pour $\varepsilon>0$ , $h_{\varepsilon}\colon x\mapsto h(x)+\varepsilon\mathopen{\|}{x}\mathclose{\|}^{2}$ est strictement convexe et que $\operatorname{vol}\nabla h_{\varepsilon}(U)\rightarrow\operatorname{vol}\nabla h(U)$ quand $\varepsilon\rightarrow 0$ . Faut-il plutôt mettre cet énoncé?

Démonstration.

Soit $x$ et $y$ des points distincts de $U$ . Comme la fonction $f\colon y\mapsto h(x+t(y-x))$ est strictement convexe sur $[0,1]$ , on a $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$ puis d’où $\langle\nabla h(y)-\nabla h(x),y-x\rangle>0$ . En particulier, $\nabla h(x)\neq\nabla h(y)$ .

La matrice jacobienne $\operatorname{Jac}(\nabla h)$ de l’application $\nabla h\colon U\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ n’est autre que la matrice hessienne $\mathscr{H}(h)$ de l’application $h$ . D’après la formule de changement de variables dans les intégrales multiples, on a donc

\int_{U}(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=n!\int_{U}\det\mathscr{H}(h)=n!\int_{U}\det\operatorname{Jac}(\nabla h)=n!\operatorname{vol}(\nabla h(U)),

puisque, $h$ étant convexe, $\det\mathscr{H}(h)\geq 0$ . ∎

\remaname 5.7.7.

Soit $(f_{1},\dots,f_{m})$ une famille de formes linéaires sur $\mathbf{R}^{n}$ qui contient une repère affine de l’espace affine $\mathbf{R}^{n}$ . Posons $f=\max(f_{1},\dots,f_{m})$ ; c’est une fonction strictement convexe sur $\mathbf{R}^{n}$ . Si les $f_{j}$ sont définies sur $\mathbf{Q}$ , la fonction $f$ est donc la fonction d’appui d’un fibré en droites ample $L$ sur une variété torique $X$ de tore $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ . Dans ce cas, l’application $\nabla(h)$ est appelée « application moment » et l’image de $V$ est un polytope convexe de $\mathbf{R}^{n}$ correspondant à la variété torique polarisée $(X,L)$ . On sait alors que $\operatorname{vol}(\nabla(h)(V))=\deg_{L}(X)/n!$ . Le courant $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}$ est donc égal à $\deg_{L}(X)\delta_{0}$ . Cela redonne une formule de Lagerberg ([43], Exemple 3.2 et Proposition 5.12). Le lien entre supercourants et théorie de l’intersection apparaîtra clairement dans la suite de ce texte.