Soit $E$ un fibré vectoriel métrisé sur $X$. Soit $f\colon Y\rightarrow X$ un morphisme d’espaces $k$-analytiques. On dispose alors d’un carré cartésien

$$\vbox{\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 20.5pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-20.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{V}(f^{*}E)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 20.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 23.16315pt\raise 6.57835pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.21725pt\hbox{$\scriptstyle{f^{\prime}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 44.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-24.33334pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 44.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{V}(E)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 59.71526pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 59.71526pt\raise-24.33334pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-7.01389pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{Y\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 7.0139pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 24.51558pt\raise-25.55556pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{f}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 52.18054pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 52.18054pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{X}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces}}}}}.$$

Si $E$ est libre, identifié à $\mathscr{O}_{X}^{n}$, $f^{*}E$ est identifié à $\mathscr{O}_{Y}^{n}$, le morphisme $f^{\prime}$ s’identifie à l’application $(\operatorname{id},f)$ de $\mathbf{V}(f^{*}E)=\mathbf{A}^{n}\times Y$ dans $\mathbf{V}(E)=\mathbf{A}^{n}\times X$. On définit alors une métrique sur le fibré vectoriel $f^{*}E$ par la composition $\mathbf{V}(f^{*}E)\xrightarrow{f^{\prime}}\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+}$.

Si la métrique de $E$ est lisse, resp. ${\rm PL}$, il en est de même de la métrique de $f^{*}E$ ainsi définie. Par passage aux classes d’isométrie de fibrés en droites métrisés PL, on en déduit un homomorphisme de groupes $f^{*}\colon\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)\rightarrow\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(Y,*)$.