Soit $I$ une partie non vide de $\{1,\dots,m\}$ telle que la famille $(f_{i})_{i\in I}$ sépare $V$. Fixons $i\in I$. Chaque équation $f_{j}(x)=f_{i}(x)$, pour $j\in I$ ($j\neq i$), définit une hyperplan affine de $V$ ; par hypothèse, l’intersection de ces hyperplans est de cardinal au plus $1$. Par suite, l’ensemble $S$ est fini.

Soit $x$ un point de $V$. Au voisinage de $x$, on a donc $g=\max_{i\in I_{x}}f_{i}$. Autrement dit, si $y$ est assez petit, on a

où $\overrightarrow{f_{i}}$ est la forme linéaire associée à $f_{i}$. D’après le lemme 5.7.2 qu’au voisinage de $x$, $g$ est limite uniforme d’une famille $(g_{\varepsilon})$ de fonctions convexes lisses provenant de l’espace affine $V_{x}$ image de $V$ par les formes $f_{i}$, pour $i\in I_{x}$. Si cet espace est de dimension $<n$, on a donc $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon})^{n}=0$, d’où $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}=0$ au voisinage de $x$.

Cela démontre que le support de la mesure $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}$ est contenu dans $S$, d’où la proposition. La dernière assertion est évidente. ∎