Soit $W$ un domaine analytique compact de $V$ qui s’écrit $W_{1}\cup W_{2}$, où $W_{1}$ et $W_{2}$ sont deux domaines analytiques compacts de $V$. On suppose que $W$ contient le support de $\omega$ si $\omega$ est de bi-degré $(n,n)$, et qu’il est un voisinage de ce support si elle est de type $(n-1,n)$. Fixons une présentation $(f\colon V\rightarrow T,\alpha)$ de $\omega$.

Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(V)$ qui possède les propriétés suivantes :

1. 1.

   Les parties $f_{\text{trop}}(W),f_{\text{trop}}(W_{1})$, $f_{\text{trop}}(W_{2})$ et $f_{\text{trop}}(W_{1}\cap W_{2})$ sont réunions de cellules appartenant à $\mathscr{C}$  ;

2. 2.

   Cette décomposition est compatible avec les calibrages $\mu_{f},\mu_{f|_{W}},\mu_{f|_{W_{1}}},\mu_{f|_{W_{2}}}$ et $\mu_{f|_{W_{1}\cap W_{2}}}$ (que l’on prolonge par $0$ en dehors de leurs polytopes de définition respectifs).

Soit $C\in\mathscr{C}$, et soit $p\colon T\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ un morphisme affine surjectif de tores tel que $p_{\text{trop}}|_{C}$ soit injective. Choisissons un pavé ouvert $P$ dans l’intérieur $\mathring{C}$ de $C$, dont l’image $R$ par $p_{\text{trop}}$ ne rencontre pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial V\cup\partial W\cup\partial W_{1}\cup\partial W_{2}\cup\partial(W_{1}\cap W_{2}))$, et qui possède la propriété suivante : si $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$ alors $P$ rencontre le support de $\alpha$.

L’ouvert $U=f_{\text{trop}}^{-1}(P)$ est alors fini et plat sur $R_{\mathrm{sq}}$  ; appelons $d$ le degré correspondant. En vertu de l’hypothèse faite sur $R$, l’ouvert $U$ ne rencontre aucun des bords des différents domaines analytiques en jeu  ; dès lors, toute composante connexe de $U$ qui rencontre $W$ (resp. $W_{1}$, resp. $W_{2}$, resp. $W_{1}\cap W_{2}$) est entièrement contenue dans $W_{1}\cup W_{2}$ (resp. …). Par conséquent, $U$ s’écrit $U^{\prime}\coprod U_{1}\coprod U_{12}\coprod U_{2}$, où $U^{\prime}$ est la réunion des composantes connexes de $U$ contenues dans $V-W$, où $U_{1}$ est la réunion des composantes connexes de $U$ contenues dans $W_{1}-W_{2}$, où $U_{2}$ est défini de façon symétrique, et où $U_{12}$ est la réunion des composantes connexes de $U$ contenues dans $W_{1}\cap W_{2}$.

Les ouverts $U^{\prime}$, $U_{1}\coprod U_{12}$, $U_{2}\coprod U_{12}$ et $U_{12}$ sont finis et plats au-dessus de $R_{\mathrm{sq}}$  ; si l’on note $d^{\prime}$, $d_{1}$, $d_{2}$ et $d_{12}$ les degrés correspondants on a $d=d^{\prime}+d_{1}+d_{2}-d_{12}$.

Revenons à la démonstration des propositions 3.7.2 et 3.7.3. Soit $\sigma$ la section de $p_{\text{trop}}$ d’image $\langle C\rangle$, et soit $|{\bf e}|$ l’image par $\sigma$ du vecteur-volume standard de $\mathbf{R}^{n}$.

On a alors par définition

Il vient

et $\mu_{f}(C)=\mu_{f|_{W}}(C)$ si $\omega$ est de type $(n,n)$ et si $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$, puisqu’on a alors $d^{\prime}=0$ d’après le lemme 3.7.4 ci-dessus.

Supposons que $\omega$ est de type $(n,n)$. Le calcul des différentes intégrales en jeu dans la proposition 3.7.2 ne fait alors intervenir effectivement que les cellules $C\in\mathscr{C}$ telles que $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$. Il en résulte, compte-tenu de ce qui précède et de la remarque 3.7.5, que

et que

dans le cas intégrable (la remarque 3.7.5 ne sert que pour la première ligne). Ceci achève de démontrer la proposition 3.7.2.

Supposons maintenant que $\omega$ est de type $(n-1,n)$. Soit $F$ une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$. On a en vertu de ce qui précède l’égalité

d’où l’on déduit (à l’aide de l’inégalité triangulaire pour ce qui concernent les intégrales de bord de $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$) l’assertion 1) de la proposition 3.7.3.

Il reste à prouver l’assertion 2) de la proposition 3.7.3. On suppose donc que $\omega$ est de type $(n-1,n)$ et que $W$ est un voisinage du support de $\omega$.

En recouvrant le compact $V-\text{Int}\;(W/V)$ par un nombre fini de domaines affinoïdes qui ne rencontrent pas le support de $\omega$, on obtient un domaine analytique compact $Z$ de $X$ qui est disjoint du support de $\omega$, et tel que $Z\cup W=X$.

Comme $Z$ ne rencontre pas le support de $\omega$, les intégrales $\int_{\partial Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ et $\int_{\partial(Z\cap W)}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ sont nulles. En appliquant l’assertion 1) de la proposition 3.7.3, déjà établie, il vient alors

L’égalité $\int_{\partial X}\omega=\int_{\partial W}\omega$ dans le cas intégrable se démontre exactement de la même manière. ∎