Ces formules résultent de celles démontrées ci-dessus pour des demi-espaces et de la définition des calibrages et des discordances.

En effet, supposons d’abord que $P$ soit un livre : sa tranche est un sous-espace affine $W$ de dimension $n-1$ de $V$, ses pages des demi-espaces $V_{i}^{+}$ de bord $W$ dans des sous-esapces affines de dimension de $n$ de $V$ contenant $W$. Fixons une orientation sur $W$ et munissons les espaces $V_{i}$ de l’orientation correspondant à la normale sortante. Le calibrage $\mu$ correspond alors à des $n$-vecteurs $\tilde{\mu}_{i}$ de $\overrightarrow{V}_{i}$, la discordance $\mu_{W}$ à leur somme. D’après la formule de Stokes (lemme 1.3.8), on a

Cela démontre la formule de Stokes dans ce cas particulier.

Pour traiter le cas général, fixons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $P$.

La réunion $\partial^{2}\mathscr{C}$ des cellules de $\mathscr{C}$ de dimension au plus $n-2$ intersecte chaque cellule $C$ de dimension $\geq n-1$ de $\mathscr{C}$ selon un ensemble de mesure nulle dans l’espace affine $\langle C\rangle$.

Il s’ensuit que le compact $\partial^{2}\mathscr{C}\cap\operatorname{supp}(\omega)$ possède un voisinage dont la trace sur chaque cellule $C$ de dimension $\geq n-1$ est de mesure arbitrairement petite dans $\langle C\rangle$.

Pour tout point $x$ de $P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\partial^{2}\mathscr{C}$, il existe un voisinage $U_{x}$ de $x$ dans $V$ et un livre $L_{x}$ tel que $L_{x}\cap U_{x}=X\cap U_{x}$. Comme on a prouvé la formule de Stokes pour les livres, un argument de partition de l’unité et de passage à la limite (pour traiter ce qui se passe au voisinage de $\partial^{2}\mathscr{C}\cap\operatorname{supp}(\omega)$) l’entraîne dans le cas général.

La formule de Green se prouve de la même façon. ∎