Soit $(s_{1},\ldots,s_{m})$ une famille de sections globales de $\mathsf{L}$ sur $\widetilde{(X,x)}$ qui l’engendre en tout point. Soit $i\in\{1,\dots,n\}$. La section $s_{i}$ se relève en une section $t_{i}$ de $L$ qui est inversible et de norme $\leq 1$ en tout point de $(X,x)$. Notons $\mathsf{U}_{i}$ le domaine d’inversibilité de $s_{i}$ dans $\mathsf{M}$ et $(X_{i},x)$ le domaine relativement strict de $(X,x)$ défini par la condition $\mathopen{\|}{t_{i}}\mathclose{\|}=1$  ; on a $\widetilde{(X_{i},x)}=\mathsf{U}_{i}$. Soit aussi $a_{i}$ l’unique élément de $\mathscr{O}_{X,x}^{\times}$ tel que $s=a_{i}t_{i}$. On a $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}\leq\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}$ pour tout $i$, et $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}=\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$. Puisque les germes $(X_{i},x)$ recouvrent $(X,x)$, on a donc $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}=\min(\mathopen{|}{a_{1}}\mathclose{|},\dots,\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|})$.

Observons aussi que pour tout $i$, le domaine $(X_{i},x)$ est le lieu de validité de la conjonction des inégalités $\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{a_{j}}\mathclose{|}$, lorsque $j$ parcourt $\{1,\dots,n\}$, et que le couple $(\mathsf{L},s_{i})$ est défini par la cochaîne $(\widetilde{a_{j}(x)/a_{i}(x)})_{j}$.

Inversement, supposons que la norme de $s$ soit de la forme $\min(\mathopen{|}{a_{1}}\mathclose{|},\dots,\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|})$, où $(a_{1},\dots,a_{m})$ est une famille finie d’éléments de $\mathscr{O}_{X,x}^{\times}$. Pour tout $i$, soit $(X_{i},x)$ le lieu de validité de la conjonction des inégalités $\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{a_{j}}\mathclose{|}$ pour $j$ variable. Le fibré $\bar{L}$ peut alors être défini par le cocycle $(a_{i}/a_{j})$, subordonné au G-recouvrement $((X_{i},x))$ de $(X,x)$. Pour tout $i$, la cochaîne $(\widetilde{a_{j}(x)/a_{i}(x)})_{j}$ définit une section globale $s_{i}$ de $\mathsf{L}$ sur $\widetilde{(X,x)}$ dont le lieu d’inversibilité est précisément $\widetilde{(X_{i},x)}$. Comme les $(X_{i},x)$ recouvrent $(X,x)$, leurs réductions $\widetilde{(X_{i},x)}$ recouvrent $\widetilde{(X,x)}$ et les $s_{i}$ engendrent $\mathsf{L}$. ∎